Matematyka

Średni — liceum i technikum

Zakres materiału: podstawowy i rozszerzenie

Funkcje

Miejsca zerowe i znak funkcji

Miejsca zerowe są argumentami, dla których wynik wynosi0. Znak funkcji mówi, czy wykres leży nad osią X czy pod nią. Zera, wykluczenia dziedziny i krotności czynników wyznaczają przedziały do badania.

Najważniejsze w skrócie

  • Miejsce zerowe musi należeć do dziedziny.
  • Czynnik(x−a)2 jest dodatni poza a i zerowy w a.

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

  • Równania i nierówności.

Po tej lekcji

  • Rozwiąż f(x)=0 i zbadaj znak
  • Sprawdź zmianę znaku przy czynnikach

Rozwiąż f(x)=0 i zbadaj znak

Zakres: Podstawowy

Na osi X współrzędna y wynosi0. Miejsce zerowe zapisujemy jako x, punkt przecięcia jako(x,0). Przy funkcji kwadratowej położenie ramion i pierwiastki pozwalają wyznaczyć znak.

Miejsce zerowe musi należeć do dziedziny.

Równość licznika0 nie wystarczy, jeśli w tym samym punkcie mianownik jest0.

Kiedy stosujemy: Dla nierówności ostrej miejsca zerowe wykluczamy.

Przykłady zastosowania

  • (x−1)(x−3)>0 poza[1,3].

Źródła: [3].

Sprawdź zmianę znaku przy czynnikach

Zakres: Rozszerzenie

Przy czynniku o parzystej krotności znak nie zmienia się po przejściu przez jego zero. Nieparzysta krotność zmienia znak. Zera mianownika dzielą przedziały, lecz nigdy nie należą do rozwiązania.

Czynnik(x−a)2 jest dodatni poza a i zerowy w a.

Parzysta potęga usuwa znak podstawy.

Kiedy stosujemy: Nie zgaduj znaku całego iloczynu z jednego czynnika.

Przykłady zastosowania

  • (x−1)2(x+2) zmienia znak tylko przy−2.

Źródła: [3].

Sprawdź na interaktywnym modelu

Zobacz, jak to działa

Zmieniaj współczynnik i przesunięcia, aby obserwować wykres. Punkt P pokazuje wartość dla wybranego argumentu. Model służy do swobodnego sprawdzania zależności, bez oceny.

-6-4,5-3-1,501,534,56-8-6-4-202468xyP
Powiększenie i przesuwanie

Plus i minus zmieniają powiększenie. Strzałki przesuwają powiększoną grafikę, Home przywraca całość. Możesz użyć przycisków lub klawiatury po ustawieniu fokusu na grafice.

Opis i oznaczenia

y = x·(x^2−4). Zaznaczony argument x = 1.

  • P: (1; -3)
Punkty wykresu w tabeli

Współrzędne próbkowanych punktów; wartości przybliżone do dwóch miejsc po przecinku

x
-2,63
y
-7,59
x
-2,5
y
-5,63
x
-2,38
y
-3,9
x
-2,25
y
-2,39

y = x·(x2−4)

f(1) ≈ -3. Rysunek pokazuje tylko widoczny fragment wykresu; wartości poza ramką nadal mogą należeć do zbioru wartości.

Źródła: [1] [2] [3].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Liniowa

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Znajdź miejsce zerowe2x−6.

-16-88xy

Znajdź miejsce zerowe2x−6.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Przyrównaj do0.

  1. 2x−6=0.
  2. 2x=6.
  3. x=3.

Odpowiedź: 3.

Sprawdzenie i interpretacja: 2 · 3−6=0.

Przećwicz ten zakres

2. Znak

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Dla jakich x funkcja−2x+4 jest dodatnia?

-26-88xy

Dla jakich x funkcja−2x+4 jest dodatnia?

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Rozwiąż nierówność.

  1. −2x+4>0.
  2. −2x>−4.
  3. Dzieląc przez−2, odwracamy znak:x<2.

Odpowiedź: (−∞,2).

Sprawdzenie i interpretacja: Dla x=0 wartość4>0, dla x=3 wartość−2<0.

Przećwicz ten zakres

3. Między pierwiastkami

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Wyznacz, gdzie(x−1)(x−3)<0.

-15-38xy

Wyznacz, gdzie(x−1)(x−3)<0.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Zbadaj znaki obu czynników.

  1. Zera to1 i3.
  2. Między nimi pierwszy czynnik dodatni, drugi ujemny.
  3. Poza nimi znaki są jednakowe.

Odpowiedź: (1,3).

Sprawdzenie i interpretacja: Dla x=2 iloczyn wynosi−1.

Przećwicz ten zakres

4. Usunięte zero

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Znajdź zera(x2-1)(x-1).(x^2−1)/(x−1).

-45-57xy

Znajdź zera(x2−1)/(x−1).

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Zacznij od dziedziny.

  1. x≠1.
  2. Licznik zeruje się w−1 i1.
  3. 1 jest wykluczone; pozostaje−1.

Odpowiedź: −1.

Sprawdzenie i interpretacja: Dla−1 mianownik−2 jest niezerowy.

Przećwicz ten zakres

5. Parzysta krotność

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Gdzie(x−1)2(x+2)<0?

-43-1212xy

Gdzie(x−1)2(x+2)<0?

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Wykorzystaj nieujemność kwadratu.

  1. Dla x≠1 kwadrat jest dodatni.
  2. Znak wyznacza x+2.
  3. Ujemny jest dla x<−2.

Odpowiedź: (−∞,−2).

Sprawdzenie i interpretacja: W1 funkcja jest0, ale po obu stronach dodatnia.

Przećwicz ten zakres

6. Znak ilorazu

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Rozwiąż(x-2)(x+1)≥0.(x−2)/(x+1)≥0.

-55-55xy

Rozwiąż(x−2)/(x+1)≥0.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Zbadaj przedziały i końce.

  1. x≠−1; licznik0 w2.
  2. Znaki jednakowe dla x<−1 oraz x>2.
  3. 2 włączamy,−1 wykluczamy.

Odpowiedź: (−∞,−1)∪[2,∞).

Sprawdzenie i interpretacja: Dla x=0 iloraz−2 jest ujemny; dla3 dodatni.

Przećwicz ten zakres

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: Miejsce zerowe zapisuję(3,0), gdy pytają o argument.

Dlaczego to błąd: To punkt przecięcia, nie liczba będąca argumentem.

Poprawnie: Miejsce zerowe:x=3.

Błędne rozumowanie: Przy każdym zerze znak się zmienia.

Dlaczego to błąd: Parzysta krotność nie zmienia znaku.

Poprawnie: Sprawdź wykładnik czynnika.

Podsumowanie — zapamiętaj

  • Równość licznika0 nie wystarczy, jeśli w tym samym punkcie mianownik jest0.
  • Parzysta potęga usuwa znak podstawy.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 02.11.2026.

  1. ZPE: Matematyka — liceum i technikum

    Zakres źródła: Treści nauczania w zakresie podstawowym i rozszerzonym

  2. ZPE: Przekształcanie wykresów funkcji kwadratowej

    Zakres źródła: Przesunięcia, odbicia i własności wykresów

  3. CKE: Funkcja kwadratowa, potęgi i logarytmy

    Zakres źródła: Rozdziały2,3,7: dziedziny, znaki, wierzchołek i zbiory wartości