Matematyka

Średni — liceum i technikum

Zakres materiału: rozszerzenie

Trygonometria

Miara stopniowa i łukowa

Radian mierzy kąt przez stosunek długości łuku do promienia. Pełny obrót ma2π radianów,tak jak360°. Ta definicja wyjaśnia wzory na długość łuku i pole wycinka bez dodatkowego przelicznika stopniowego.

Najważniejsze w skrócie

  • α rad = α° · π/180
  • ℓ=rα;P wycinka=r2α2=r^2α/2

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

  • Obwód koła i proporcje.

Po tej lekcji

  • Połącz półobrót zπ
  • Użyj definicji radiana

Połącz półobrót zπ

Zakres: Rozszerzenie

180° odpowiadaπ rad. Mnożąc stopnie przezπ/180,otrzymujesz radiany. W drugą stronę mnożysz przez180/π. Sam symbolπ nie jest jednostką stopnia.

α rad = α° · π/180

To proporcja oparta na tym samym półobrocie.

Kiedy stosujemy: Nie mieszaj stopni i radianów w jednym rachunku.

Przykłady zastosowania

  • 90°=π/2 rad;60°=π/3 rad.

Źródła: [2].

Użyj definicji radiana

Zakres: Rozszerzenie

Kątα rad w kole o promieniu r wycina łuk długości rα. Wycinek stanowi częśćα(2π)α/(2π) całego koła,więc pole wynosiαr22.αr^2/2. Dla kąta w stopniach trzeba najpierw zmienić jednostkę albo użyć udziałuα°360°.α°/360°.

ℓ=rα;P wycinka=r2α2=r^2α/2

W obu wzorachα musi być w radianach.

Kiedy stosujemy: r>0;dla zwykłego pojedynczego wycinka0≤α≤2π.

Przykłady zastosowania

  • r=3,α=π/3→ℓ=π.

Źródła: [2].

Sprawdź na interaktywnym modelu

Zobacz, jak to działa

Zmieniaj kąt. Dodatni zwrot biegnie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Punkt po pełnym obrocie wraca w to samo miejsce; zapis kąta zachowuje wszystkie obroty.

xy1−11−1POkrąg o promieniu 1

30° = π/6 rad

Pełne obroty ze znakiem: 0; pozostały kąt: 30°. Kierunek końcowy: 30°.

cos α ≈ 0,866; sin α ≈ 0,5. Są to współrzędne punktu P.

tg α = sin α / cos α ≈ 0,5774.

Źródła: [1] [2].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Stopnie na radiany

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Zamień60° na radiany.

xyO60°

Zamień60° na radiany.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Pomnóż przezπ/180.

  1. 60π/180.
  2. Skracamy do.
  3. Otrzymujemyπ/3 rad.

Odpowiedź: π/3 rad.

Sprawdzenie i interpretacja: π/3 · 180/π=60°.

Przećwicz ten zakres

2. Kąt większy od półobrotu

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Zamień225° na radiany.

xyO225°

Zamień225° na radiany.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Skróć iloraz.

  1. 225π/180.
  2. Dzielimy przez45.
  3. Wynik5π/4 rad.

Odpowiedź: 5π/4 rad.

Sprawdzenie i interpretacja: 5 · =225°.

Przećwicz ten zakres

3. Radiany na stopnie

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Zamień3π/2 rad na stopnie.

xyO3π/2

Zamień3π/2 rad na stopnie.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Pomnóż przez180/π.

  1. (3π/2)(180/π).
  2. Skracamyπ i dzielimy180 przez2.
  3. 3 · 90=270°.

Odpowiedź: 270°.

Sprawdzenie i interpretacja: 270π/180=3π/2.

Przećwicz ten zakres

4. Ujemny obrót

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Zamień−π/6 rad na stopnie.

xyO−π/6

Zamień−π/6 rad na stopnie.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Zachowaj kierunek obrotu.

  1. −π/6 · 180/π.
  2. −=−30.
  3. Znak minus oznacza obrót w przeciwną stronę.

Odpowiedź: −30°.

Sprawdzenie i interpretacja: −30π/180=−π/6.

Przećwicz ten zakres

5. Długość łuku

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: r=6 cm,kątπ/3 rad. Oblicz długość łuku.

xyOπ/3r = 6

r=6 cm,kątπ/3 rad. Oblicz długość łuku.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Użyjℓ=rα.

  1. ℓ=6 · π/3.
  2. =2.
  3. ℓ=2π cm.

Odpowiedź: 2π cm.

Sprawdzenie i interpretacja: To obwodu12π cm.

Przećwicz ten zakres

6. Pole wycinka

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: r=4 cm,kątπ/2 rad. Oblicz pole wycinka.

xyOπ/2r = 4

r=4 cm,kątπ/2 rad. Oblicz pole wycinka.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Użyj połowy iloczynu r2 i kąta.

  1. r2=16.
  2. P=16·(π2)2.P=16 · (π/2)/2.
  3. P=4π cm2.

Odpowiedź: 4π cm2.

Sprawdzenie i interpretacja: Kątπ/2 to ćwierć obrotu,a pole koła16π.

Przećwicz ten zakres

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: 60°=60π rad.

Dlaczego to błąd: Brakuje dzielenia przez180.

Poprawnie: 60°=π/3 rad.

Błędne rozumowanie: We wzorzeℓ=rα podstawiam60 dla60°.

Dlaczego to błąd: Wzór wymaga radianów.

Poprawnie: Najpierw60°=π/3.

Podsumowanie — zapamiętaj

  • To proporcja oparta na tym samym półobrocie.
  • W obu wzorachα musi być w radianach.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 02.11.2026.

  1. ZPE: Matematyka — liceum i technikum

    Zakres źródła: Treści nauczania w zakresie podstawowym i rozszerzonym

  2. CKE: Trygonometria

    Zakres źródła: Rozdziały9–10: miara łukowa,wartości szczególne,tożsamości i trójkąty