Matematyka

Średni — liceum i technikum

Zakres materiału: podstawowy

Statystyka

Mediana i dominanta

Mediana opisuje środek uporządkowanych danych, a dominanta wartość najczęstszą. Nie są to inne nazwy średniej. Do obliczenia mediany trzeba zachować wszystkie powtórzenia i uporządkować liczby.

Najważniejsze w skrócie

  • Dla parzystego n mediana =(xn2+xn2+1)2= (x_(n/2) + x_(n/2+1))/2
  • Najpierw tabela częstości, potem wybór maksimum.

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

  • Porządkowanie liczb.

Po tej lekcji

  • Uporządkuj i znajdź środek
  • Policz częstości

Uporządkuj i znajdź środek

Zakres: Podstawowy

Dla nieparzystej liczby danych bierzemy jeden środkowy element. Dla parzystej obliczamy średnią dwóch środkowych, nie dwóch skrajnych. Mediana może nie występować w danych.

Dla parzystego n mediana =(xn2+xn2+1)2= (x_(n/2) + x_(n/2+1))/2

Tyle samo pozycji pozostaje po lewej i po prawej od środka.

Kiedy stosujemy: x są uporządkowane niemalejąco.

Przykłady zastosowania

  • Dla 1,2,8,9 mediana to 5.

Źródła: [2].

Policz częstości

Zakres: Podstawowy

Dominanta to najczęściej występująca wartość. Stosujemy konwencję ćwiczeń: jeśli każda wartość występuje tylko raz, zgłaszamy brak dominanty; przy powtarzającym się maksimum podajemy wszystkie wartości o tej częstości.

Ta konwencja jest ważna przy remisie: dla 1,1,2,2 podajemy 1 i 2.

Najpierw tabela częstości, potem wybór maksimum.

Dominanta zależy od liczby wystąpień, nie od wielkości liczby.

Kiedy stosujemy: Przy wielu dominantach wypisz cały zbiór.

Przykłady zastosowania

  • Dla 2,2,5 dominanta to 2.

Źródła: [2].

Sprawdź na interaktywnym modelu

Obserwuj środkowe pozycje i wszystkie najczęstsze wartości; zachowaj powtórzenia.

Wpisz własny zestaw, zachowując powtórzenia. Zmień dane i obserwuj wynik. Wariancję całego zestawu dzielimy przez n.

Od 1 do 24 liczb z zakresu −100…100, do dwóch miejsc po przecinku. Oddzielaj je średnikiem lub spacją.

01234[1]

Oznaczenia grafiki

  • Każda kropka oznacza jedną podaną obserwację
Powiększenie i przesuwanie

Plus i minus zmieniają powiększenie. Strzałki przesuwają powiększoną grafikę, Home przywraca całość. Możesz użyć przycisków lub klawiatury po ustawieniu fokusu na grafice.

Opis i oznaczenia

Wszystkie obserwacje na wspólnej, równomiernej osi; powtórzenia i bliskie wartości układamy pionowo, zachowując dokładne położenia na osi

  • 0
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • Każda kropka oznacza jedną podaną obserwację

Uporządkowane obserwacje: 1; 1; 2; 2; 3.

Mediana = 2.

Dominanta: 1; 2. Przy remisie uwzględniamy wszystkie najczęstsze wartości.

Źródła: [1] [2] [3].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Nieparzysta liczba danych

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Znajdź medianę 8,2,5,1,9.

A12589

Pełna lista została uporządkowana; trzecia pozycja jest środkowa.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Uporządkuj.

  1. Lista rosnąca: 1,2,5,8,9.
  2. Jest 5 elementów.
  3. Środkowy trzeci to 5.

Odpowiedź: 5.

Sprawdzenie i interpretacja: Dwie pozycje leżą przed 5 i dwie po 5.

Przećwicz ten zakres

2. Parzysta liczba danych

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Znajdź medianę 9,1,8,2.

A1289

Przy czterech obserwacjach używamy dwóch środkowych pozycji.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Uśrednij środkową parę.

  1. Uporządkowane: 1,2,8,9.
  2. Środkowe to 2 i 8.
  3. (2+8)2=5.(2 + 8)/2 = 5.

Odpowiedź: 5.

Sprawdzenie i interpretacja: 5 leży dokładnie między dwiema środkowymi wartościami.

Przećwicz ten zakres

3. Najczęstsza wartość

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Znajdź dominantę 2,4,2,7,2,4.

12345678Dane

Wysokości stosów oznaczają częstości wystąpień poszczególnych wartości.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Policz wystąpienia.

  1. 2 występuje 3 razy.
  2. 4 występuje 2 razy, 7 raz.
  3. Największą częstość ma 2.

Odpowiedź: 2.

Sprawdzenie i interpretacja: Liczba 7 jest największa, ale nie najczęstsza.

Przećwicz ten zakres

4. Dwie dominanty

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Znajdź dominanty 1,1,2,2,3 zgodnie z konwencją lekcji.

01234Dane

Dwie wartości mają tę samą największą częstość.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Wybierz wszystkie maksymalne częstości.

  1. 1 występuje 2 razy.
  2. 2 występuje 2 razy, 3 raz.
  3. Maksimum jest wspólne dla 1 i 2.

Odpowiedź: 1 i 2.

Sprawdzenie i interpretacja: Obie wartości mają tę samą największą częstość większą od 1.

Przećwicz ten zakres

5. Bez powtórzeń

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Znajdź dominantę 1,3,5,7 zgodnie z konwencją ćwiczeń.

012345678Dane

Wszystkie częstości są równe; zgodnie z konwencją tej lekcji dominanty brak.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Sprawdź, czy istnieje powtarzająca się wartość.

  1. Każda występuje raz.
  2. Żadna nie ma większej częstości od pozostałych.
  3. Dla wszystkich jednokrotnych przyjmujemy brak dominanty.

Odpowiedź: Brak dominanty.

Sprawdzenie i interpretacja: Tabela częstości zawiera wyłącznie jedynki.

Przećwicz ten zakres

6. Powtórzenia w medianie

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Znajdź medianę i dominantę 1,1,1,8,10.

A111810

Trzy kopie wartości 1 są trzema osobnymi obserwacjami.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Nie usuwaj jednakowych danych.

  1. Lista jest uporządkowana i ma 5 elementów.
  2. Trzeci element to 1, więc mediana = 1.
  3. 1 ma też największą częstość 3.

Odpowiedź: Mediana 1; dominanta 1.

Sprawdzenie i interpretacja: Usunięcie powtórzeń zmieniłoby zbiór obserwacji.

Przećwicz ten zakres

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: Mediana danych 9,1,8,2 to (9+2)2.(9 + 2)/2.

Dlaczego to błąd: Wybrano końce nieuporządkowanej listy.

Poprawnie: Po uporządkowaniu środkowe to 2 i 8.

Błędne rozumowanie: Dominanta to największy wynik.

Dlaczego to błąd: Dominanta oznacza największą częstość.

Poprawnie: Najpierw policz wystąpienia.

Podsumowanie — zapamiętaj

  • Tyle samo pozycji pozostaje po lewej i po prawej od środka.
  • Dominanta zależy od liczby wystąpień, nie od wielkości liczby.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 02.11.2026.

  1. ZPE: Matematyka — liceum i technikum

    Zakres źródła: Treści nauczania w zakresie podstawowym i rozszerzonym

  2. ZPE: Średnia arytmetyczna, średnia ważona, mediana, odchylenie standardowe

    Zakres źródła: Definicje średnich, mediany, wariancji i odchylenia

  3. CKE: Parametry danych statystycznych

    Zakres źródła: Rozdział 15: parametry całego podanego zbioru