Matematyka

Średni — liceum i technikum

Zakres materiału: podstawowy

Potęgi, pierwiastki i logarytmy

Logarytmy — definicja

Logarytm odpowiada na pytanie: do jakiej potęgi podnieść podaną podstawę, aby otrzymać daną liczbę? To wynik potęgowania szukany od strony wykładnika. Przed obliczeniem sprawdzamy podstawę i argument; sam wynik logarytmu może być ujemny.

Najważniejsze w skrócie

  • loga(b)=c⇔ac=b.log_a(b)=c ⇔ a^c=b.
  • Warunki dotyczą podstawy i argumentu, a nie zakazu ujemnego wyniku.
  • Wróć do definicji i sprawdź wszystkie warunki.

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

  • Potęgi z wykładnikiem 0, ujemnym i ułamkowym.

Po tej lekcji

  • Logarytm jest wykładnikiem
  • Dodatni argument, niekoniecznie dodatni wynik
  • Co jest szukaną wielkością?

Logarytm jest wykładnikiem

loga(b)=clog_a(b)=c oznacza dokładnie ac=b.a^c=b. Podstawa a jest ustalona. Dla a>0, a≠1 potęgowanie przyjmuje dodatnie wartości i jest różnowartościowe, więc dla dodatniego b wykładnik jest jednoznaczny. W zapisie loglog lub lg bez podstawy przyjmujemy szkolną podstawę 10;ln10; ln oznacza podstawę e.

loga(b)=c⇔ac=b.log_a(b)=c ⇔ a^c=b.

Logarytm odwraca pytanie o wartość potęgi.

Kiedy stosujemy: a>0, a≠1, b>0.

Przykłady zastosowania

  • log2(8)=3,log_2(8)=3, bo 23=8.2^3=8.

Źródła: [1].

Dodatni argument, niekoniecznie dodatni wynik

Argument 0 lub ujemny nie jest dopuszczalny w rzeczywistym logarytmie. Podstawa 1 nie działa, bo 1c=11^c=1 dla każdego c, a podstawa 0 lub ujemna nie tworzy omawianej funkcji dla wszystkich wykładników rzeczywistych.

Ujemny wynik oznacza jedynie potrzebę odwrotności podstawy;log2(18)=-3; log_2(1/8)=−3 jest poprawny. Logarytm 1 wynosi 0, a logarytm własnej podstawy 1.

Warunki dotyczą podstawy i argumentu, a nie zakazu ujemnego wyniku.

Dodatnie potęgi podstawy mniejszej od 1 również mogą dawać małe dodatnie argumenty.

Kiedy stosujemy: W równaniu sprawdź dziedzinę przed przekształcaniem.

Przykłady zastosowania

  • log5(1)=0;log12(8)=-3.log_5(1)=0; log_(1/2)(8)=−3.

Źródła: [1].

Co jest szukaną wielkością?

Jeśli szukasz argumentu, przejdź do potęgi, np.log3(x)=2.log_3(x)=2 daje x=9. Jeśli szukasz podstawy, pamiętaj, że równanie potęgowe może mieć wartości niespełniające a>0, a≠1. Wyznaczone liczby podstaw do pierwotnego zapisu.

Wróć do definicji i sprawdź wszystkie warunki.

Znajomy wzór nie usuwa ograniczeń początku zadania.

Kiedy stosujemy: Każdy pierwotny logarytm musi istnieć.

Przykłady zastosowania

  • loga(16)=2log_a(16)=2 daje a=4 po odrzuceniu−4.

Źródła: [1].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Dodatni wykładnik

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Oblicz log3(81).log_3(81).

Jak podejść do zadania: Zapisz 81 jako potęgę 3.

  1. 81=34.
  2. Szukany wykładnik to 4.
  3. Wszystkie warunki istnienia są spełnione.

Odpowiedź: 4.

Sprawdzenie i interpretacja: 34=81.

Przećwicz ten zakres

2. Ujemny wynik

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Oblicz log2(18).log_2(1/8).

Jak podejść do zadania: Zapisz ułamek jako ujemną potęgę.

  1. 18=2-3.1/8=2^(−3).
  2. Logarytm jest wykładnikiem−3.
  3. Argument pozostaje dodatni.

Odpowiedź: −3.

Sprawdzenie i interpretacja: 2-3=18.2^(−3)=1/8.

Przećwicz ten zakres

3. Podstawa poniżej 1

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Oblicz log12(8).log_(1/2)(8).

Jak podejść do zadania: Sprawdź potęgowanie odwrotności 2.

  1. (12)-3=23.(1/2)^(−3)=2^3.
  2. Wartość tej potęgi to 8.
  3. Podstawa jest dodatnia i różna od 1.

Odpowiedź: −3.

Sprawdzenie i interpretacja: Ujemny wykładnik odwraca ułamek, potem podnosi go do 3.

Przećwicz ten zakres

4. Który zapis nie istnieje?

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Oceń log1(5),log2(0)ilog5(1).log_1(5), log_2(0) i log_5(1).

Jak podejść do zadania: Sprawdź podstawę i argument.

  1. Podstawa 1 jest niedopuszczalna.
  2. Argument 0 jest niedopuszczalny.
  3. 50=1, więc trzeci logarytm ma wartość 0.

Odpowiedź: Pierwsze dwa nie są określone; trzeci wynosi 0.

Sprawdzenie i interpretacja: Wynik 0 jest dozwolony, choć argument 0 nie jest.

Przećwicz ten zakres

5. Szukanie argumentu

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Rozwiąż log3(x)=2.log_3(x)=2.

Jak podejść do zadania: Zamień logarytm na potęgę.

  1. Dziedzina:x>0.
  2. x=32.
  3. x=9 spełnia dziedzinę.

Odpowiedź: x=9.

Sprawdzenie i interpretacja: log3(9)=2.log_3(9)=2.

Przećwicz ten zakres

6. Szukanie podstawy

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Rozwiąż loga(16)=2.log_a(16)=2.

Jak podejść do zadania: Przejdź do równania i odfiltruj podstawy.

  1. a>0, a≠1.
  2. a2=16 daje a=4 lub a=−4.
  3. Warunek dodatniości odrzuca−4.

Odpowiedź: a=4.

Sprawdzenie i interpretacja: 42=16, a 4 jest różne od 1.

Przećwicz ten zakres

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: Logarytm nie może być ujemny.

Dlaczego to błąd: Dodatni musi być argument, nie wynik.

Poprawnie: log2(18)=-3.log_2(1/8)=−3.

Błędne rozumowanie: log2(0)=0.log_2(0)=0.

Dlaczego to błąd: 20=1, nie 0.

Poprawnie: log2(0)log_2(0)nie jest określony.

Podsumowanie — zapamiętaj

  • Logarytm odwraca pytanie o wartość potęgi.
  • Dodatnie potęgi podstawy mniejszej od 1 również mogą dawać małe dodatnie argumenty.
  • Znajomy wzór nie usuwa ograniczeń początku zadania.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 23.10.2026.

  1. CKE — logarytmy

    Zakres źródła: Rozdział 3, strony 5–6; definicja, własności i zmiana podstawy

  2. ZPE — przekształcanie wyrażeń z logarytmami