Matematyka

Średni — liceum i technikum

Zakres materiału: rozszerzenie

Kombinatoryka

Kombinacje

Kombinacja wybiera grupę bez ustalania kolejności. Komisja z Ani i Basi jest tą samą komisją co komisja z Basi i Ani. Zliczanie uporządkowanych wyborów zawyża więc wynik o liczbę ich wewnętrznych ustawień.

Najważniejsze w skrócie

  • C(n,k)=n!(k!(n-k)!)C(n,k) = n!/(k!(n−k)!)
  • Z powtórzeniami bez kolejności: C(n + k − 1,k)

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

  • Silnia i wariacje.

Po tej lekcji

  • Usuń niepotrzebną kolejność
  • Włącz warunki do wyboru

Usuń niepotrzebną kolejność

Zakres: Rozszerzenie

Wybierając k różnych obiektów z n, najpierw możemy policzyć wariacje, a potem podzielić przez k!, bo każda grupa ma tyle uporządkowań. Wybranie k obiektów jest równoważne wskazaniu n − k niewybranych.

C(n,k)=n!(k!(n-k)!)C(n,k) = n!/(k!(n−k)!)

Współczynnik dwumianowy liczy podzbiory o liczności k.

Kiedy stosujemy: 0 ≤ k ≤ n; elementów nie powtarzamy.

Przykłady zastosowania

  • C(5,2) = C(5,3) = 10.

Źródła: [3].

Włącz warunki do wyboru

Zakres: Rozszerzenie

Warunek „jedna osoba określonej grupy” rozdziela wybór na grupy. Warunek „co najmniej jedna” bywa łatwiejszy przez dopełnienie. Gdy wybieramy powtarzalne rodzaje bez kolejności, zwykłe C(n,k) już nie pasuje.

Dla k jednakowych wyborów z n rodzajów można zakodować wynik k znacznikami i n − 1 separatorami.

Z powtórzeniami bez kolejności: C(n + k − 1,k)

Układ znaczników i separatorów jednoznacznie podaje liczby wybranych sztuk każdego rodzaju.

Kiedy stosujemy: Każdy rodzaj ma nieograniczony zapas; k ≥ 0, n ≥ 1.

Przykłady zastosowania

  • 3 kulki lodów z 4 smaków: C(6,3).

Źródła: [3].

Sprawdź na interaktywnym modelu

Wskaż zapisy i porównaj skład grup, a nie kolejność ich zapisania.

Wybieraj elementy rysunku i poznawaj ich własności. To swobodna powtórka bez ocen.

AABCBCBACABDDAAB
Powiększenie i przesuwanie

Plus i minus zmieniają powiększenie. Strzałki przesuwają powiększoną grafikę, Home przywraca całość. Możesz użyć przycisków lub klawiatury po ustawieniu fokusu na grafice.

Opis i oznaczenia

Osobne ustawienia elementów; pozycje i powtórzenia pozostają widoczne

  • A
  • A
  • B
  • C
  • B
  • C
  • B
  • A
  • C
  • A
  • B
  • D
  • D
  • A
  • A
  • B
Wybierz elementy

Nie zaznaczono żadnego elementu.

Pomoc do wyboru

Dotknij elementu na rysunku lub wybierz go z listy. Poniżej znajdziesz objaśnienie zaznaczenia.

Wybierz element, aby przeczytać jego opis.

Źródła: [1] [2] [3].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Para

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Ile par można wybrać z 6 osób?

A12B13C14D15E16F23G24H25I26J34K35L36M45N46O56

Każda para sześciu osób występuje tylko raz, zawsze z mniejszym numerem z lewej.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Usuń dwie kolejności każdej pary.

  1. Uporządkowanych par jest 6 · 5 = 30.
  2. Każdą parę policzono 2 razy.
  3. = 15.

Odpowiedź: 15.

Sprawdzenie i interpretacja: C(6,2)=6!(2!4!)=15.C(6,2) = 6!/(2!4!) = 15.

Przećwicz ten zakres

2. Komisja

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Ile trzyosobowych komisji można wybrać z 8 osób?

Wybieramy trzy osoby bez wyróżniania ról12345678

Osiem różnych osób; jedna komisja jest zbiorem trzech osób, a nie ich kolejnością.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Użyj C(8,3).

  1. C(8,3)=8·7·6(3·2·1).C(8,3) = 8 · 7 · 6/(3 · 2 · 1).
  2. = 56.
  3. Role nie są rozróżnione.

Odpowiedź: 56.

Sprawdzenie i interpretacja: Każda komisja ma 3! = 6 uporządkowań; 56 · 6 = 336.

Przećwicz ten zakres

3. Własność symetrii

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Oblicz C(10,8).

A12345678B910

Każda wybrana ósemka wyznacza dokładnie jedną niewybraną parę i odwrotnie.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Wybierz dwie osoby, które pozostaną poza grupą.

  1. C(10,8) = C(10,2).
  2. 10 · = 45.
  3. Każda wybrana ósemka ma jedną pominiętą parę.

Odpowiedź: 45.

Sprawdzenie i interpretacja: To bijekcja między ósemkami a parami dopełniającymi.

Przećwicz ten zakres

4. Warunek składu

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Z 5 dziewcząt i 4 chłopców wybieramy 2 dziewczęta i 1 chłopca. Ile komisji?

AD1D2D3D4D5BC1C2C3C4

Wybieramy dwie różne osoby D oraz jedną C. Kolejność w wybranej grupie nie tworzy nowej komisji.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Wybierz osobno obie grupy.

  1. C(5,2) = 10.
  2. C(4,1) = 4.
  3. 10 · 4 = 40.

Odpowiedź: 40.

Sprawdzenie i interpretacja: Każdy zestaw dwóch dziewcząt łączy się z czterema różnymi chłopcami.

Przećwicz ten zakres

5. Co najmniej jedna

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Z 4 dziewcząt i 3 chłopców wybieramy 3 osoby. Ile grup zawiera co najmniej jedną dziewczynę?

AD1D2D3D4BC1C2C3

Spośród siedmiu osób wybieramy trzy. Jedyna grupa bez dziewcząt zawiera wszystkie trzy osoby C.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Odejmij grupę bez dziewcząt.

  1. Wszystkich: C(7,3) = 35.
  2. Bez dziewcząt: C(3,3) = 1.
  3. 35 − 1 = 34.

Odpowiedź: 34.

Sprawdzenie i interpretacja: Jedyną wykluczoną grupą jest grupa wszystkich trzech chłopców.

Przećwicz ten zakres

6. Powtarzalne rodzaje

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Wybierasz 3 kulki lodów z 4 smaków, smak można powtarzać, kolejność nie ma znaczenia. Ile zestawów?

A★|★★||

Trzy gwiazdki i trzy separatory kodują cztery liczebności smaków; tu jest to 1,2,0,0.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Zastosuj znaczniki i separatory.

  1. Trzy znaczniki reprezentują kulki, trzy separatory cztery smaki.
  2. Spośród 6 pozycji wybieramy 3 dla znaczników.
  3. C(6,3) = 20.

Odpowiedź: 20.

Sprawdzenie i interpretacja: Rozkłady typów: trzy takie same 4; dwa takie same 4 · 3 = 12; trzy różne C(4,3) = 4; razem 20.

Przećwicz ten zakres

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: C(6,2) = 6 · 5 = 30.

Dlaczego to błąd: Każdą parę policzono dwa razy.

Poprawnie: = 15.

Błędne rozumowanie: Kolejność smaków zmienia zestaw.

Dlaczego to błąd: Treść wyklucza znaczenie kolejności.

Poprawnie: Wanilia–czekolada i czekolada–wanilia to ten sam zestaw.

Podsumowanie — zapamiętaj

  • Współczynnik dwumianowy liczy podzbiory o liczności k.
  • Układ znaczników i separatorów jednoznacznie podaje liczby wybranych sztuk każdego rodzaju.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 02.11.2026.

  1. ZPE: Matematyka — liceum i technikum

    Zakres źródła: Treści nauczania w zakresie podstawowym i rozszerzonym

  2. ZPE: Reguła mnożenia, reguła dodawania

    Zakres źródła: Etapy wyboru, rozłączne przypadki i permutacje

  3. CKE: Silnia i kombinatoryka

    Zakres źródła: Rozdziały 4 i 13: silnia, współczynnik dwumianowy, wariacje i kombinacje