Matematyka

Średni — liceum i technikum

Zakres materiału: podstawowy i rozszerzenie

Stereometria

Kąty i odległości w przestrzeni

W przestrzeni najważniejszy jest wybór płaskiego trójkąta zawierającego szukaną długość lub kąt. Kąt prostej z płaszczyzną mierzymy między prostą a jej rzutem prostopadłym. Kąt dwuścienny wymaga dwóch prostych prostopadłych do wspólnej krawędzi.

Najważniejsze w skrócie

  • D2=a2+b2+H2;sinα=HDD^2 = a^2 + b^2 + H^2; sin α = H/D
  • tgtan kąta ściany z podstawą =H(a2)= H/(a/2)

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

  • Pitagoras i funkcje trygonometryczne.

Po tej lekcji

  • Zaznacz rzut i prostopadłą
  • Dobierz przekrój prostopadły do krawędzi

Zaznacz rzut i prostopadłą

Zakres: Podstawowy

Przekątna prostopadłościanu, przekątna podstawy i wysokość tworzą trójkąt prostokątny. Rzut przestrzennej przekątnej na podstawę jest przekątną tej podstawy.

D2=a2+b2+H2;sinα=HDD^2 = a^2 + b^2 + H^2; sin α = H/D

α jest kątem przekątnej z podstawą.

Kiedy stosujemy: Nie wybieraj dowolnego boku podstawy zamiast właściwego rzutu.

Przykłady zastosowania

  • W sześcianie sinα=13.sin α = 1/√3.

Źródła: [2].

Dobierz przekrój prostopadły do krawędzi

Zakres: Rozszerzenie

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt ściany z podstawą odczytamy w przekroju przez wysokość bryły i środek boku podstawy. Kąt krawędzi z podstawą wymaga natomiast odcinka do wierzchołka podstawy.

Odległość punktu od płaszczyzny jest długością prostopadłej.

tgtan kąta ściany z podstawą =H(a2)= H/(a/2)

W przekroju prostopadłym do krawędzi otrzymujemy miarę kąta dwuściennego.

Kiedy stosujemy: Wzór dotyczy prawidłowego ostrosłupa czworokątnego.

Przykłady zastosowania

  • a = 8, H = 4 → kąt ściany z podstawą 45°.

Źródła: [2].

Sprawdź na interaktywnym modelu

Wskazuj trzy różne odcinki przekroju. Ich role wynikają z prostopadłości w bryle, a nie z wyglądu rzutu przestrzennego.

Wybieraj elementy rysunku i poznawaj ich własności. To swobodna powtórka bez ocen.

Bryła i odcinki pomocniczeFigura pomocniczaMSOSOMDane z zadaniaO: środek podstawyM: środek bokuS: wierzchołek ostrosłupa
Powiększenie i przesuwanie

Plus i minus zmieniają powiększenie. Strzałki przesuwają powiększoną grafikę, Home przywraca całość. Możesz użyć przycisków lub klawiatury po ustawieniu fokusu na grafice.

Opis i oznaczenia

Bryła z zaznaczonymi odcinkami i odpowiadający im przekrój płaski. Rzut przestrzenny nie zachowuje miar kątów.

  • Bryła i odcinki pomocnicze
  • Figura pomocnicza
  • M
  • S
  • O
  • S
  • O
  • M
  • Dane z zadania
  • O: środek podstawy
  • M: środek boku
  • S: wierzchołek ostrosłupa
Wybierz element

Nie zaznaczono żadnego elementu.

Pomoc do wyboru

Wybierz element rysunku lub listy. Zobaczysz wyjaśnienie; ta eksploracja nie jest oceniana.

Wybierz element, aby przeczytać jego opis.

Źródła: [1] [2].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Przekątna bryły

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Prostopadłościan ma wymiary 3,4,12. Oblicz przekątną.

Bryła i odcinki pomocniczeFigura pomocniczaAC′CAC′CDane z zadaniaBoki podstawy: 3 i 4Wysokość: CC′ = 12Przekątna bryły: AC′ = x

Prostopadłościan ma wymiary 3, 4 i 12. Przekątna podstawy AC oraz wysokość CC′ należą do trójkąta pomocniczego z przekątną bryły AC′.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Zastosuj sumę trzech kwadratów.

  1. D2 = 9 + 16 + 144 = 169.
  2. D=169.D = √169.
  3. D = 13.

Odpowiedź: 13.

Sprawdzenie i interpretacja: Przekątna podstawy to 5; 52 + 122 = 132.

Przećwicz ten zakres

2. Kąt przekątnej

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: W prostopadłościanie z poprzedniego przykładu podaj sinus kąta przekątnej z podstawą 3 × 4.

Bryła i odcinki pomocniczeFigura pomocniczaAC′CAC′CDane z zadaniaPodstawa: 3 × 4Wysokość: CC′ = 12Przekątna: AC′ = 13Szukany kąt: CAC′

Wykorzystano ten sam prostopadłościan co w poprzednim przykładzie. AC jest rzutem AC′ na podstawę; szukany kąt leży między tymi odcinkami.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Wybierz pionowy przekrój.

  1. Wysokość wynosi 12.
  2. Przekątna bryły wynosi 13.
  3. sin α = .

Odpowiedź: .

Sprawdzenie i interpretacja: cos α = ; suma kwadratów wynosi 1.

Przećwicz ten zakres

3. Sześcian

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Podaj tangens kąta przekątnej sześcianu z podstawą.

Bryła i odcinki pomocniczeFigura pomocniczaAC′CAC′CDane z zadaniaWszystkie krawędzie: aSzukany kąt: CAC′

Sześcian przedstawiono symbolicznie, bez przypisywania krawędzi wartości liczbowej. Porównujemy przekątną bryły z jej rzutem na podstawę.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Porównaj wysokość z rzutem.

  1. Wysokość to a.
  2. Rzut jest przekątną podstawy a2.a√2.
  3. tgα=a(a2)=22.tan α = a/(a√2) = √2/2.

Odpowiedź: 22.√2/2.

Sprawdzenie i interpretacja: Wynik nie zależy od długości krawędzi.

Przećwicz ten zakres

4. Kąt ściany

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma a = 8, H = 4. Oblicz kąt ściany bocznej z podstawą.

Bryła i odcinki pomocniczeFigura pomocniczaMSOSOMDane z zadaniaBok podstawy: 8Wysokość: SO = 4M: środek boku podstawySzukany kąt: OMS

OMS jest przekrojem prostopadłym do wspólnej krawędzi ściany i podstawy. M leży w środku boku; nie jest wierzchołkiem kwadratu.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Weź przekrój przez środek boku podstawy.

  1. Pozioma przyprostokątna to a2=4.a/2 = 4.
  2. Pionowa to H = 4.
  3. tan β = 1, więc β = 45°.

Odpowiedź: 45°.

Sprawdzenie i interpretacja: Przekrój jest równoramiennym trójkątem prostokątnym w jego połowie.

Przećwicz ten zakres

5. Kąt krawędzi

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Dla a = 8, H = 4 podaj tangens kąta krawędzi bocznej z podstawą.

Bryła i odcinki pomocniczeFigura pomocniczaASOSOADane z zadaniaBok podstawy: 8Wysokość: SO = 4A: wierzchołek podstawySzukany kąt: OAS

Krawędź SA rzutuje się na OA, czyli odcinek od środka do wierzchołka podstawy. Ten przekrój różni się od przekroju przez środek boku.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Użyj połowy przekątnej kwadratu.

  1. Rzut krawędzi ma 42.4√2.
  2. tgα=4(42).tan α = 4/(4√2).
  3. tgα=22.tan α = √2/2.

Odpowiedź: 22.√2/2.

Sprawdzenie i interpretacja: Jest mniejszy niż tangens kąta ściany, bo rzut krawędzi jest dłuższy.

Przećwicz ten zakres

6. Odległość od podstawy

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: W graniastosłupie prostym wysokości 9 punkt P leży w połowie krawędzi bocznej. Jaka jest jego odległość od dolnej podstawy?

Bryła i odcinki pomocniczeFigura pomocniczaA′PAA′PADane z zadaniaWysokość graniastosłupa: 9P: środek krawędzi AA′Podstawa ma przykładowy kształt

Punkt P leży w połowie krawędzi bocznej graniastosłupa prostego. Odcinek PA jest prostopadły do płaszczyzny dolnej podstawy; nie podpisano szukanej odległości.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Wykorzystaj prostopadłość krawędzi.

  1. Krawędź boczna jest prostopadła do podstawy.
  2. Jej połowa ma .
  3. To najkrótsza odległość P od płaszczyzny podstawy.

Odpowiedź: 4,5.

Sprawdzenie i interpretacja: Odległości do obu podstaw sumują się do 9.

Przećwicz ten zakres

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: Kąt prostej z podstawą tworzymy z dowolnym bokiem podstawy.

Dlaczego to błąd: Potrzebny jest rzut tej prostej.

Poprawnie: Zaznacz rzut prostopadły.

Błędne rozumowanie: Kąt ściany z podstawą jest tym samym co kąt krawędzi z podstawą.

Dlaczego to błąd: Wykorzystują różne przekroje i rzuty.

Poprawnie: Dla ściany użyj środka boku; dla krawędzi wierzchołka podstawy.

Podsumowanie — zapamiętaj

  • α jest kątem przekątnej z podstawą.
  • W przekroju prostopadłym do krawędzi otrzymujemy miarę kąta dwuściennego.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 02.11.2026.

  1. ZPE: Matematyka — liceum i technikum

    Zakres źródła: Treści nauczania w zakresie podstawowym i rozszerzonym

  2. CKE: Stereometria

    Zakres źródła: Rozdział 12: graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe