Matematyka

Średni — liceum i technikum

Zakres materiału: rozszerzenie

Wstęp do analizy matematycznej

Granice funkcji

Granica w punkcie opisuje wartości w jego pobliżu, z pominięciem samego punktu. Funkcja może mieć granicę tam, gdzie nie jest określona. Przy badaniu z dwóch stron wartości muszą dążyć do tego samego wyniku.

Najważniejsze w skrócie

  • Granica zależy od sąsiedztwa, nie od wartości w samym punkcie.
  • Granica dwustronna wymaga zgodnych granic jednostronnych.

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

  • Dziedzina funkcji i przekształcenia algebraiczne.

Po tej lekcji

  • Najpierw sprawdź, czy wolno podstawić
  • Porównaj lewą i prawą stronę

Najpierw sprawdź, czy wolno podstawić

Zakres: Rozszerzenie

Dla wielomianu można podstawić argument graniczny. W ilorazie wymaga to niezerowego mianownika w granicy. Postać nie jest wynikiem: sygnalizuje potrzebę rozkładu, skrócenia w sąsiedztwie punktu lub sprzężenia.

Granica zależy od sąsiedztwa, nie od wartości w samym punkcie.

Dwa wzory równe dla x≠a w pewnym otoczeniu a mają tę samą granicę w a.

Kiedy stosujemy: Przy skracaniu zachowaj informację o wykluczonym punkcie.

Przykłady zastosowania

  • (x2-4)(x-2)=x+2(x^2−4)/(x−2) = x+2 dla x≠2.

Źródła: [3].

Porównaj lewą i prawą stronę

Zakres: Rozszerzenie

Dla1x1/x przy0 prawa strona rośnie do+∞, lewa spada do−∞. Nie ma wspólnej granicy dwustronnej. Dla1x21/x^2 obie strony rosną do+∞, więc granica niewłaściwa istnieje.

Granica dwustronna wymaga zgodnych granic jednostronnych.

Różne sposoby zbliżania się nie mogą dawać różnych wyników.

Kiedy stosujemy: Nie zastępuj przeciwstawnych nieskończoności jednym symbolem∞.

Przykłady zastosowania

  • |x|x|x|/x ma granice−1 i1 przy0.

Źródła: [4].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Wielomian

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Oblicz lim przy x→2 z x2 + 3x.

Jak podejść do zadania: Podstaw dzięki ciągłości wielomianu.

  1. 22 = 4.
  2. 3 · 2 = 6.
  3. Suma wynosi10.

Odpowiedź: 10.

Sprawdzenie i interpretacja: Dla argumentów bliskich2 wartości są bliskie10.

Przećwicz ten zakres

2. Postać

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Oblicz limlim przy x→2z(x2-4)(x-2).x→2 z (x^2 − 4)/(x − 2).

Jak podejść do zadania: Rozłóż licznik.

  1. x2−4=(x−2)(x+2).
  2. Dla x≠2 skracamy do x+2.
  3. Granica wynosi4.

Odpowiedź: 4.

Sprawdzenie i interpretacja: Pierwotna funkcja nie ma wartości w2, ale wartości w pobliżu dążą do4.

Przećwicz ten zakres

3. Sprzężenie

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Oblicz limlim przy x→0z(1+x-1)x.x→0 z (√(1+x)−1)/x.

Jak podejść do zadania: Pomnóż przez sumę pierwiastków.

  1. Po sprzężeniu licznik to x.
  2. Dla x≠0 zapis =1(1+x+1).=1/(√(1+x)+1).
  3. Granica wynosi.

Odpowiedź: .

Sprawdzenie i interpretacja: Nowy mianownik dąży do2, a nie do0.

Przećwicz ten zakres

4. Granica prawa

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Oblicz limlim przy x→0+z1x.x→0+ z1/x.

Jak podejść do zadania: Ustal znak i wielkość mianownika.

  1. x jest dodatnie i coraz bliższe0.
  2. Odwrotność jest dodatnia i przekracza dowolne ograniczenie.
  3. Granica prawa wynosi+∞.

Odpowiedź: +∞.

Sprawdzenie i interpretacja: Dla x=1nx=1/n otrzymujemy n→+∞.

Przećwicz ten zakres

5. Granica lewa

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Oblicz limlim przy x→0-z1x.x→0− z1/x.

Jak podejść do zadania: Zachowaj znak ujemny.

  1. x jest ujemne i bliskie0.
  2. Odwrotność jest ujemna o rosnącym module.
  3. Granica lewa wynosi−∞.

Odpowiedź: −∞.

Sprawdzenie i interpretacja: Dla x=-1nx=−1/n wartości to−n.

Przećwicz ten zakres

6. Różne strony

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Czy limlim przy x→0z1xx→0 z1/x istnieje dwustronnie?

Jak podejść do zadania: Porównaj poprzednie dwie granice.

  1. Z prawej otrzymujemy+∞.
  2. Z lewej−∞.
  3. Wyniki nie są zgodne.

Odpowiedź: Nie istnieje granica dwustronna.

Sprawdzenie i interpretacja: Dwa ciągi argumentów±1n±1/n dają przeciwne zachowania.

Przećwicz ten zakres

7. Ta sama nieskończoność

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Oblicz limlim przy x→0z1x2.x→0 z1/x^2.

Jak podejść do zadania: Sprawdź obie strony.

  1. x2 jest dodatnie dla x≠0.
  2. Z obu stron x2→0+.
  3. Odwrotność dąży do+∞.

Odpowiedź: +∞.

Sprawdzenie i interpretacja: Dla |x|<1M|x|<1/√M mamy1x2>M.1/x^2>M.

Przećwicz ten zakres

8. Skok wartości

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Oblicz limlim przy x→0z|x|x,x→0 z |x|/x, jeśli istnieje.

Jak podejść do zadania: Rozpisz definicję modułu.

  1. Dla x>0 wartość wynosi1.
  2. Dla x<0 wartość wynosi−1.
  3. Granice jednostronne są różne.

Odpowiedź: Granica nie istnieje.

Sprawdzenie i interpretacja: Nawet ograniczone wartości mogą nie mieć jednej granicy.

Przećwicz ten zakres

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: = 0.

Dlaczego to błąd: To postać nieoznaczona, nie liczba.

Poprawnie: Uprość wzór w sąsiedztwie punktu.

Błędne rozumowanie: Brak wartości f(2) wyklucza granicę w2.

Dlaczego to błąd: Granica pomija sam punkt.

Poprawnie: (x2-4)(x-2)(x^2−4)/(x−2) ma granicę4.

Podsumowanie — zapamiętaj

  • Dwa wzory równe dla x≠a w pewnym otoczeniu a mają tę samą granicę w a.
  • Różne sposoby zbliżania się nie mogą dawać różnych wyników.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 23.10.2026.

  1. ZPE: Matematyka — liceum i technikum

    Zakres źródła: Treści nauczania w zakresie podstawowym i rozszerzonym

  2. CKE: Ciągi i pochodna funkcji

    Zakres źródła: Rozdziały 8 i 16: granice ciągów, reguły różniczkowania, monotoniczność i ekstrema

  3. ZPE: Granica funkcji w punkcie według Heinego

    Zakres źródła: Znaczenie granicy, jej niezależność od wartości w punkcie i brak granicy

  4. ZPE: Jak obliczyć granicę niewłaściwą funkcji w punkcie?

    Zakres źródła: Granice nieskończone i zachowanie w sąsiedztwie punktu

  5. ZPE: Pochodna funkcji złożonej

    Zakres źródła: Reguła łańcuchowa i pochodna funkcji wewnętrznej