Matematyka

Średni — liceum i technikum

Zakres materiału: podstawowy i rozszerzenie

Stereometria

Graniastosłupy i ostrosłupy

Najpierw oddziel podstawę bryły od jej wysokości. Objętość zależy od pola podstawy i prostopadłej wysokości, a pole powierzchni od pól wszystkich ścian. Krawędź boczna może być inna niż wysokość.

Najważniejsze w skrócie

  • V graniastosłupa = PpH; V ostrosłupa = PpH/3
  • ℓ2=H2+(a2)2;k2=H2+a22ℓ^2 = H^2 + (a/2)^2; k^2 = H^2 + a^2/2

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

  • Pola, Pitagoras i trygonometria.

Po tej lekcji

  • Policz podstawę i wysokość
  • Znajdź właściwy trójkąt prostokątny

Policz podstawę i wysokość

Zakres: Podstawowy

Graniastosłup ma dwie podstawy, ostrosłup jedną. W graniastosłupie prostym ściany boczne są prostokątami. W prawidłowym ostrosłupie ściany boczne są przystającymi trójkątami.

V graniastosłupa = PpH; V ostrosłupa = PpH/3

Czynnik jest własnością ostrosłupa o danej podstawie i wysokości.

Kiedy stosujemy: H jest odległością prostopadłą do płaszczyzny podstawy.

Przykłady zastosowania

  • P całkowite graniastosłupa = 2Pp + Pb.

Źródła: [2].

Znajdź właściwy trójkąt prostokątny

Zakres: Rozszerzenie

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wysokość bryły H, połowa boku podstawy a2ia/2 i wysokość ściany ℓ tworzą trójkąt prostokątny. Dla krawędzi bocznej k drugim poziomym odcinkiem jest połowa przekątnej podstawy.

ℓ2=H2+(a2)2;k2=H2+a22ℓ^2 = H^2 + (a/2)^2; k^2 = H^2 + a^2/2

Rzut wierzchołka górnego leży w środku kwadratu.

Kiedy stosujemy: Wzory dotyczą prawidłowego ostrosłupa czworokątnego.

Przykłady zastosowania

  • a = 6, H = 4 → ℓ = 5.

Źródła: [2].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Podstawa trójkątna

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Graniastosłup ma podstawę będącą trójkątem prostokątnym o przyprostokątnych 3 i 4 oraz wysokość 10. Oblicz objętość.

Jak podejść do zadania: Najpierw pole trójkąta.

  1. Pp = 3 · = 6.
  2. V = 6 · 10.
  3. V = 60.

Odpowiedź: 60.

Sprawdzenie i interpretacja: Dziesięć jednostek wysokości przy polu 6 daje 60.

Przećwicz ten zakres

2. Kwadratowa podstawa

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Ostrosłup ma kwadratową podstawę o boku 6 i wysokość 4. Oblicz objętość.

Jak podejść do zadania: Zastosuj dzielenie przez 3.

  1. Pp = 62 = 36.
  2. V = 36 · .
  3. V = 48.

Odpowiedź: 48.

Sprawdzenie i interpretacja: Odpowiedni graniastosłup ma objętość 144.

Przećwicz ten zakres

3. Pole całkowite

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Graniastosłup prosty ma podstawę trójkąta 3–4–5 i wysokość 10. Oblicz pole całkowite.

Jak podejść do zadania: Policz bok i dwie podstawy.

  1. Pp = 6, obwód podstawy = 12.
  2. Pb = 12 · 10 = 120.
  3. P = 120 + 2 · 6 = 132.

Odpowiedź: 132.

Sprawdzenie i interpretacja: Ściany boczne mają pola 30,40,50.

Przećwicz ten zakres

4. Wysokość ściany

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma a = 6, H = 4. Oblicz wysokość ściany i pole całkowite.

Jak podejść do zadania: Zbuduj przekrój przez środki boków.

  1. ℓ=42+32=5.ℓ = √(4^2 + 3^2) = 5.
  2. Jedna ściana ma pole 6 · = 15.
  3. P = 36 + 4 · 15 = 96.

Odpowiedź: ℓ = 5; P = 96.

Sprawdzenie i interpretacja: ℓ>a2ℓ > a/2 gwarantuje dodatnią wysokość bryły.

Przećwicz ten zakres

5. Krawędź boczna

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma a = 6, H = 4. Oblicz krawędź boczną.

Jak podejść do zadania: Użyj połowy przekątnej podstawy.

  1. Od środka do wierzchołka podstawy jest 32.3√2.
  2. k2=42+(32)2=16+18.k^2 = 4^2 + (3√2)^2 = 16 + 18.
  3. k=34.k = √34.

Odpowiedź: 34.√34.

Sprawdzenie i interpretacja: Krawędź jest dłuższa od wysokości ściany 5.

Przećwicz ten zakres

6. Przekątna przestrzenna

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Sześcian ma krawędź 3. Oblicz przekątną bryły.

Jak podejść do zadania: Dwukrotnie zastosuj Pitagorasa.

  1. Przekątna podstawy:32.: 3√2.
  2. D2=(32)2+32=27.D^2 = (3√2)^2 + 3^2 = 27.
  3. D=33.D = 3√3.

Odpowiedź: 33.3√3.

Sprawdzenie i interpretacja: D2 = 3 · 32.

Przećwicz ten zakres

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: Wysokość ostrosłupa to każda krawędź boczna.

Dlaczego to błąd: Wysokość jest prostopadła do podstawy.

Poprawnie: Najpierw zaznacz jej spodek.

Błędne rozumowanie: Objętość ostrosłupa = PpH.

Dlaczego to błąd: Brakuje czynnika .

Poprawnie: V = PpH/3.

Podsumowanie — zapamiętaj

  • Czynnik jest własnością ostrosłupa o danej podstawie i wysokości.
  • Rzut wierzchołka górnego leży w środku kwadratu.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 23.10.2026.

  1. ZPE: Matematyka — liceum i technikum

    Zakres źródła: Treści nauczania w zakresie podstawowym i rozszerzonym

  2. CKE: Stereometria

    Zakres źródła: Rozdział 12: graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe