Matematyka

Średni — liceum i technikum

Zakres materiału: rozszerzenie

Funkcje trygonometryczne

Sinus i cosinus opisują współrzędne punktu na okręgu jednostkowym. Ich wykresy są okresowe. Tangens jest ilorazem sinusa i cosinusa,więc ma wykluczenia tam,gdzie cosinus jest zerem.

Najważniejsze w skrócie

$sin^2x+cos^2x=1;tan x=sin x/cos x$
Okres $sin(bx) i cos(bx)$ wynosi $2π/|b|$

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

Miara łukowa i wartości szczególne.

Po tej lekcji

Odczytaj własności funkcji bazowych
Przeskaluj argument i wartości

Odczytaj własności funkcji bazowych

Zakres: Rozszerzenie

Sinus i cosinus mają dziedzinę R i wartości[−1,1]. Oba mają okres podstawowy2π. Tangens ma wartości R,okresπ i dziedzinę bezπ/2+kπ.

$sin^2x+cos^2x=1;tan x=sin x/cos x$

Punkt okręgu jednostkowego ma współrzędne(cos x,sin x).

Kiedy stosujemy: Argumenty w tej lekcji są w radianach;k jest całkowite.

Przykłady zastosowania

Zera sinusa:kπ;zera cosinusa:π/2+kπ.

Źródła: [2].

Przeskaluj argument i wartości

Zakres: Rozszerzenie

$W A sin(bx+c)+d$ amplituda to|A|,a okres $2π/|b|.$ Przesunięcie poziome odczytaj po wyłączeniu b:nawias $b(x+c/b).$ Dodanie d przesuwa środkowy poziom wykresu.

Okres $sin(bx) i cos(bx)$ wynosi $2π/|b|$

Argument musi wzrosnąć o2π,aby wynik się powtórzył.

Kiedy stosujemy: A≠0,b≠0 dla tej postaci;funkcja stała wymaga osobnego opisu.

Przykłady zastosowania

3sin(2x) ma amplitudę3 i okresπ.

Źródła: [2].

Sprawdź na interaktywnym modelu

Zobacz, jak to działa

Zmieniaj współczynnik i przesunięcia, aby obserwować wykres. Punkt P pokazuje wartość dla wybranego argumentu. Model służy do swobodnego sprawdzania zależności, bez oceny.

Współczynnik a (różny od zera)Przesunięcie poziome p: 0Przesunięcie pionowe q: 0Argument punktu P: 1

Powiększenie i przesuwanie

Plus i minus zmieniają powiększenie. Strzałki przesuwają powiększoną grafikę, Home przywraca całość. Możesz użyć przycisków lub klawiatury po ustawieniu fokusu na grafice.

Opis i oznaczenia

y = sin(x). Zaznaczony argument x = 1.

P: (1; 0,84)

Punkty wykresu w tabeli

Współrzędne próbkowanych punktów; wartości przybliżone do dwóch miejsc po przecinku

x: -6
y: 0,28

x: -5,88
y: 0,4

x: -5,75
y: 0,51

x: -5,63
y: 0,61

Współrzędne próbkowanych punktów; wartości przybliżone do dwóch miejsc po przecinku
x	y
-6	0,28
-5,88	0,4
-5,75	0,51
-5,63	0,61

Współrzędne próbkowanych punktów; wartości przybliżone do dwóch miejsc po przecinku
x	y
-6	0,28
-5,88	0,4
-5,75	0,51
-5,63	0,61
-5,5	0,71
-5,38	0,79
-5,25	0,86
-5,13	0,92
-5	0,96
-4,88	0,99
-4,75	1
-4,63	1
-4,5	0,98
-4,38	0,94
-4,25	0,89
-4,13	0,83
-4	0,76
-3,88	0,67
-3,75	0,57
-3,63	0,46
-3,5	0,35
-3,38	0,23
-3,25	0,11
-3,13	-0,02
-3	-0,14
-2,88	-0,26
-2,75	-0,38
-2,63	-0,49
-2,5	-0,6
-2,38	-0,69
-2,25	-0,78
-2,13	-0,85
-2	-0,91
-1,88	-0,95
-1,75	-0,98
-1,63	-1
-1,5	-1
-1,38	-0,98
-1,25	-0,95
-1,13	-0,9
-1	-0,84
-0,88	-0,77
-0,75	-0,68
-0,63	-0,59
-0,5	-0,48
-0,38	-0,37
-0,25	-0,25
-0,13	-0,12
0	0
0,13	0,12
0,25	0,25
0,38	0,37
0,5	0,48
0,63	0,59
0,75	0,68
0,88	0,77
1	0,84
1,13	0,9
1,25	0,95
1,38	0,98
1,5	1
1,63	1
1,75	0,98
1,88	0,95
2	0,91
2,13	0,85
2,25	0,78
2,38	0,69
2,5	0,6
2,63	0,49
2,75	0,38
2,88	0,26
3	0,14
3,13	0,02
3,25	-0,11
3,38	-0,23
3,5	-0,35
3,63	-0,46
3,75	-0,57
3,88	-0,67
4	-0,76
4,13	-0,83
4,25	-0,89
4,38	-0,94
4,5	-0,98
4,63	-1
4,75	-1
4,88	-0,99
5	-0,96
5,13	-0,92
5,25	-0,86
5,38	-0,79
5,5	-0,71
5,63	-0,61
5,75	-0,51
5,88	-0,4
6	-0,28

Punkty wykresu w tabeli

Współrzędne próbkowanych punktów; wartości przybliżone do dwóch miejsc po przecinku

x: -6
y: 0,28

x: -5,88
y: 0,4

x: -5,75
y: 0,51

x: -5,63
y: 0,61

Współrzędne próbkowanych punktów; wartości przybliżone do dwóch miejsc po przecinku
x	y
-6	0,28
-5,88	0,4
-5,75	0,51
-5,63	0,61

Współrzędne próbkowanych punktów; wartości przybliżone do dwóch miejsc po przecinku
x	y
-6	0,28
-5,88	0,4
-5,75	0,51
-5,63	0,61
-5,5	0,71
-5,38	0,79
-5,25	0,86
-5,13	0,92
-5	0,96
-4,88	0,99
-4,75	1
-4,63	1
-4,5	0,98
-4,38	0,94
-4,25	0,89
-4,13	0,83
-4	0,76
-3,88	0,67
-3,75	0,57
-3,63	0,46
-3,5	0,35
-3,38	0,23
-3,25	0,11
-3,13	-0,02
-3	-0,14
-2,88	-0,26
-2,75	-0,38
-2,63	-0,49
-2,5	-0,6
-2,38	-0,69
-2,25	-0,78
-2,13	-0,85
-2	-0,91
-1,88	-0,95
-1,75	-0,98
-1,63	-1
-1,5	-1
-1,38	-0,98
-1,25	-0,95
-1,13	-0,9
-1	-0,84
-0,88	-0,77
-0,75	-0,68
-0,63	-0,59
-0,5	-0,48
-0,38	-0,37
-0,25	-0,25
-0,13	-0,12
0	0
0,13	0,12
0,25	0,25
0,38	0,37
0,5	0,48
0,63	0,59
0,75	0,68
0,88	0,77
1	0,84
1,13	0,9
1,25	0,95
1,38	0,98
1,5	1
1,63	1
1,75	0,98
1,88	0,95
2	0,91
2,13	0,85
2,25	0,78
2,38	0,69
2,5	0,6
2,63	0,49
2,75	0,38
2,88	0,26
3	0,14
3,13	0,02
3,25	-0,11
3,38	-0,23
3,5	-0,35
3,63	-0,46
3,75	-0,57
3,88	-0,67
4	-0,76
4,13	-0,83
4,25	-0,89
4,38	-0,94
4,5	-0,98
4,63	-1
4,75	-1
4,88	-0,99
5	-0,96
5,13	-0,92
5,25	-0,86
5,38	-0,79
5,5	-0,71
5,63	-0,61
5,75	-0,51
5,88	-0,4
6	-0,28

y = sin(x)

f(1) ≈ 0,8415. Rysunek pokazuje tylko widoczny fragment wykresu; wartości poza ramką nadal mogą należeć do zbioru wartości.

Źródła: [1] [2].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Zbiór wartości

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Podaj wartości2sin x−1.

Podaj wartości2sin x−1.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Przekształć[−1,1].

Mnożenie przez2 daje[−2,2].
Odjęcie1 daje[−3,1].
Oba końce są osiągane.

Odpowiedź: [−3,1].

Sprawdzenie i interpretacja: Dla sin x=±1 otrzymujemy wartości skrajne.

Przećwicz ten zakres

2. Okres

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Podaj okres podstawowy $sin(3x).$

Podaj okres podstawowy sin(3x).

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Podziel okres bazowy przez3.

3T=2π.
T=2π/3.
To najmniejszy dodatni okres.

Odpowiedź: 2π/3.

Sprawdzenie i interpretacja: $sin(3(x+2π/3))=sin(3x+2π).$

Przećwicz ten zakres

3. Dziedzina

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Podaj dziedzinę tan x.

Podaj dziedzinę tan x.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Wyklucz zera cosinusa.

cos x=0 dla x=π/2+kπ.
Iloraz $sin/cos$ jest tam niedozwolony.
Pozostałe rzeczywiste są dopuszczalne.

Odpowiedź: R∖{π/2+kπ:k∈Z}.

Sprawdzenie i interpretacja: Każde wykluczenie daje pionową asymptotę.

Przećwicz ten zakres

4. Przesunięcie

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Opisz $sin(x−π/3).$

Opisz sin(x−π/3).

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Zastosuj f(x−p).

p=π/3.
Wykres przesuwa się w prawo oπ/3.
Okres i amplituda nie zmieniają się.

Odpowiedź: W prawo oπ/3.

Sprawdzenie i interpretacja: Nowe zero odpowiadające0 występuje wπ/3.

Przećwicz ten zakres

5. Amplituda

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Podaj amplitudę i okres−4cos(2x)+3.

Podaj amplitudę i okres−4cos(2x)+3.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Oddziel pionowe i poziome zmiany.

Amplituda=|−4|=4.
Okres=2π/2=π.
+3 przesuwa poziom średni,nie amplitudę.

Odpowiedź: Amplituda4,okresπ.

Sprawdzenie i interpretacja: Zakres wartości[−1,7] ma połowę rozpiętości4.

Przećwicz ten zakres

6. Zera złożenia

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Znajdź zera $cos(2x).$

Znajdź zera cos(2x).

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Użyj zer cosinusa dla argumentu2x.

2x=π/2+kπ.
Dzielimy przez2.
x=π/4+kπ/2.

Odpowiedź: π/4+kπ/2,k∈Z.

Sprawdzenie i interpretacja: $cos(π/2+kπ)=0.$

Przećwicz ten zakres

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: Okres $sin(3x)$ to6π.

Dlaczego to błąd: Szybszy argument skraca okres.

Poprawnie: 2π/3.

Błędne rozumowanie: Amplituda−4cos x wynosi−4.

Dlaczego to błąd: Amplituda jest nieujemna.

Poprawnie: |−4|=4.

Podsumowanie — zapamiętaj

Punkt okręgu jednostkowego ma współrzędne(cos x,sin x).
Argument musi wzrosnąć o2π,aby wynik się powtórzył.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Funkcje trygonometryczne — ćwiczenia online

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 02.11.2026.

ZPE: Matematyka — liceum i technikum
Zakres źródła: Treści nauczania w zakresie podstawowym i rozszerzonym
CKE: Funkcje, potęgi i trygonometria
Zakres źródła: Rozdziały2,3,7,9: potęgi, logarytmy, parabola i funkcje trygonometryczne