Matematyka

Średni — liceum i technikum

Zakres materiału: podstawowy i rozszerzenie

Rodzaje funkcji

Funkcja wymierna

Funkcja wymierna jest ilorazem wielomianów. Dziedzinę wyznacza pierwotny mianownik, również po skracaniu. Wykres może mieć przerwę usuwalną, asymptotę pionową lub poziomą; to nie są zamienne pojęcia.

Najważniejsze w skrócie

  • f(x)=a(x-p)+q:D=R∖{p},W=R∖{q}f(x)=a/(x−p)+q: D=R∖{p},W=R∖{q}
  • Jeśli f(x)−(ax+b)→0,to y=ax+b jest asymptotą.

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

  • Dziedzina, ułamki algebraiczne i nierówności.

Po tej lekcji

  • Zacznij od mianownika
  • Sprawdź, co zostaje po skróceniu lub dzieleniu

Zacznij od mianownika

Zakres: Podstawowy

Dla a(x-p)+q,a≠0,a/(x−p)+q,a≠0,dziedzina wyklucza p,a zbiór wartości wyklucza q. Pionową asymptotą jest x=p,poziomą y=q. Zera wyznaczamy po uwzględnieniu dziedziny.

f(x)=a(x-p)+q:D=R∖{p},W=R∖{q}f(x)=a/(x−p)+q: D=R∖{p},W=R∖{q}

Ułamek z niezerowym licznikiem nigdy nie jest zerem.

Kiedy stosujemy: Własności tego wzoru zakładają a≠0.

Przykłady zastosowania

  • 2(x-1)+32/(x−1)+3 ma asymptoty x=1,y=3.

Źródła: [2].

Sprawdź, co zostaje po skróceniu lub dzieleniu

Zakres: Rozszerzenie

W(x)V(x)W(x)/V(x) może po skróceniu mieć skończoną granicę w wykluczonym punkcie: wtedy jest dziura,nie asymptota pionowa. Dzielenie wielomianów może ujawnić prostą,do której wykres zbliża się przy nieskończonych argumentach.

Jeśli f(x)−(ax+b)→0,to y=ax+b jest asymptotą.

Reszta podzielona przez rosnący mianownik może zanikać.

Kiedy stosujemy: Zer mianownika nie przywracamy po skróceniu.

Przykłady zastosowania

  • (x2+1)(x-1)=x+1+2(x-1).(x^2+1)/(x−1)=x+1+2/(x−1).

Źródła: [2].

Sprawdź na interaktywnym modelu

Zobacz, jak to działa

Zmieniaj współczynnik i przesunięcia, aby obserwować wykres. Punkt P pokazuje wartość dla wybranego argumentu. Model służy do swobodnego sprawdzania zależności, bez oceny.

-6-4,5-3-1,501,534,56-8-6-4-202468xyP
Powiększenie i przesuwanie

Plus i minus zmieniają powiększenie. Strzałki przesuwają powiększoną grafikę, Home przywraca całość. Możesz użyć przycisków lub klawiatury po ustawieniu fokusu na grafice.

Opis i oznaczenia

y = 1/x. Zaznaczony argument x = 1.

  • P: (1; 1)
Punkty wykresu w tabeli

Współrzędne próbkowanych punktów; wartości przybliżone do dwóch miejsc po przecinku

x
-6
y
-0,17
x
-5,88
y
-0,17
x
-5,75
y
-0,17
x
-5,63
y
-0,18

y = 1/x

f(1) ≈ 1. Rysunek pokazuje tylko widoczny fragment wykresu; wartości poza ramką nadal mogą należeć do zbioru wartości.

Przerywane linie oznaczają asymptoty. Nie należą do wykresu; nie łączymy przez nie gałęzi.

Źródła: [1] [2].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Dziedzina

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Wyznacz dziedzinę2(x-1)+3.2/(x−1)+3.

-46-510xy

Wyznacz dziedzinę2/(x−1)+3.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Wyklucz zero mianownika.

  1. x−1≠0.
  2. x≠1.
  3. Pozostałe argumenty są dopuszczalne.

Odpowiedź: R∖{1}.

Sprawdzenie i interpretacja: Podstawienie1 wymagałoby dzielenia przez0.

Przećwicz ten zakres

2. Zero

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Znajdź zero2(x-1)+1.2/(x−1)+1.

-46-57xy

Znajdź zero2/(x−1)+1.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Rozwiąż równanie z dziedziną.

  1. x≠1.
  2. 2=−(x−1),więc x=−1.
  3. −1 jest dozwolone.

Odpowiedź: −1.

Sprawdzenie i interpretacja: 2(-2)+1=0.2/(−2)+1=0.

Przećwicz ten zakres

3. Asymptoty hiperboli

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Podaj asymptoty i zbiór wartości2(x-1)+3.2/(x−1)+3.

-46-510xy

Podaj asymptoty i zbiór wartości2/(x−1)+3.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Odczytaj przesunięcie.

  1. Pionowa:x=1.
  2. Pozioma:y=3.
  3. Wartość3 nie jest osiągana.

Odpowiedź: x=1,y=3;W=R∖{3}.

Sprawdzenie i interpretacja: Dla y≠3 można rozwiązać x=1+2(y-3).x=1+2/(y−3).

Przećwicz ten zakres

4. Dziura

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Czy w x=1 funkcja(x2-1)(x-1)(x^2−1)/(x−1) ma asymptotę pionową?

-45-57xy

Czy w x=1 funkcja(x2−1)/(x−1) ma asymptotę pionową?

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Skróć dla x≠1.

  1. f=x+1 dla x≠1.
  2. Przy x→1 wartość dąży do2.
  3. To usuwalna przerwa,nie wzrost bez ograniczeń.

Odpowiedź: Nie;dziura w(1,2).

Sprawdzenie i interpretacja: Brak punktu wynika tylko z pierwotnej dziedziny.

Przećwicz ten zakres

5. Asymptota ukośna

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Znajdź asymptotę ukośną(x2+1)(x-1).(x^2+1)/(x−1).

-56-910xy

Znajdź asymptotę ukośną(x2+1)/(x−1).

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Podziel wielomiany.

  1. x2+1=(x−1)(x+1)+2.
  2. f=x+1+2(x-1).f=x+1+2/(x−1).
  3. Reszta ułamkowa dąży do0 dla x→±∞.

Odpowiedź: y=x+1.

Sprawdzenie i interpretacja: Różnica f-(x+1)=2(x-1)f−(x+1)=2/(x−1) zanika.

Przećwicz ten zakres

6. Dwa wykluczenia

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Określ przerwę i asymptotę(x2-1)((x-1)(x-2)).(x^2−1)/((x−1)(x−2)).

-46-66xy

Określ przerwę i asymptotę(x2−1)/((x−1)(x−2)).

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Zachowaj dziedzinę po skróceniu.

  1. Wykluczamy1 i2.
  2. Dla pozostałych f=(x+1)(x-2).f=(x+1)/(x−2).
  3. W1 granica−2:dziura;w2 niezerowy licznik daje asymptotę pionową.

Odpowiedź: Dziura(1,−2);asymptota x=2.

Sprawdzenie i interpretacja: Dla x→1 wzór skrócony daje2(-1)=-2.2/(−1)=−2.

Przećwicz ten zakres

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: Każde zero mianownika daje asymptotę pionową.

Dlaczego to błąd: Wspólny czynnik może dać przerwę usuwalną.

Poprawnie: Sprawdź granicę po skróceniu.

Błędne rozumowanie: Po skróceniu x−1 wolno podstawić1.

Dlaczego to błąd: Pierwotna dziedzina pozostaje.

Poprawnie: Punkt nadal jest wykluczony.

Podsumowanie — zapamiętaj

  • Ułamek z niezerowym licznikiem nigdy nie jest zerem.
  • Reszta podzielona przez rosnący mianownik może zanikać.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 02.11.2026.

  1. ZPE: Matematyka — liceum i technikum

    Zakres źródła: Treści nauczania w zakresie podstawowym i rozszerzonym

  2. CKE: Funkcje, potęgi i trygonometria

    Zakres źródła: Rozdziały2,3,7,9: potęgi, logarytmy, parabola i funkcje trygonometryczne