Matematyka

Średni — liceum i technikum

Zakres materiału: podstawowy i rozszerzenie

Funkcja wykładnicza

W funkcji $a^x$ argument jest wykładnikiem,a podstawa dodatnią stałą różną od1. Równe przyrosty argumentu mnożą wartości przez ten sam czynnik. To odróżnia wzrost wykładniczy od liniowego.

Najważniejsze w skrócie

$a^x>0; a^0=1$
$N(t)=N₀q^t$

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

Potęgi i ich prawa.

Po tej lekcji

Porównuj podstawę z1
Oddziel tempo mnożenia od przesunięcia

Porównuj podstawę z1

Zakres: Podstawowy

Dla a>1 funkcja rośnie,dla0<a<1 maleje. Dziedzina to R,a wartości są ściśle dodatnie. Przechodzi przez(0,1),nie ma miejsc zerowych,a y=0 jest asymptotą poziomą.

$a^x>0; a^0=1$

Potęgowanie dodatniej podstawy nie daje zera ani wartości ujemnych.

Kiedy stosujemy: a>0,a≠1;przy malejącej podstawie nierówność wykładników odwraca kierunek.

Przykłady zastosowania

$(1/2)^x>1/4$ daje x<2.

Źródła: [3].

Oddziel tempo mnożenia od przesunięcia

Zakres: Rozszerzenie

$W A·q^t$ początkowa wartość to A,a q opisuje mnożnik jednego okresu. Dodanie stałej poza potęgą zmienia poziom asymptoty. Równania o różnych podstawach można czasem sprowadzić do tej samej podstawy albo użyć logarytmu.

$N(t)=N₀q^t$

Po każdym pełnym okresie wartość jest mnożona przez q.

Kiedy stosujemy: Model obowiązuje tylko przy stałych założeniach tempa.

Przykłady zastosowania

Podwojenie co okres:q=2;spadek o20%:q=0,8.

Źródła: [3].

Sprawdź na interaktywnym modelu

Zobacz, jak to działa

Zmieniaj współczynnik i przesunięcia, aby obserwować wykres. Punkt P pokazuje wartość dla wybranego argumentu. Model służy do swobodnego sprawdzania zależności, bez oceny.

Współczynnik a (różny od zera)Przesunięcie poziome p: 0Przesunięcie pionowe q: 0Argument punktu P: 1

Powiększenie i przesuwanie

Plus i minus zmieniają powiększenie. Strzałki przesuwają powiększoną grafikę, Home przywraca całość. Możesz użyć przycisków lub klawiatury po ustawieniu fokusu na grafice.

Opis i oznaczenia

y = 2^x. Zaznaczony argument x = 1.

P: (1; 2)

Punkty wykresu w tabeli

Współrzędne próbkowanych punktów; wartości przybliżone do dwóch miejsc po przecinku

x: -6
y: 0,02

x: -5,88
y: 0,02

x: -5,75
y: 0,02

x: -5,63
y: 0,02

Współrzędne próbkowanych punktów; wartości przybliżone do dwóch miejsc po przecinku
x	y
-6	0,02
-5,88	0,02
-5,75	0,02
-5,63	0,02

Współrzędne próbkowanych punktów; wartości przybliżone do dwóch miejsc po przecinku
x	y
-6	0,02
-5,88	0,02
-5,75	0,02
-5,63	0,02
-5,5	0,02
-5,38	0,02
-5,25	0,03
-5,13	0,03
-5	0,03
-4,88	0,03
-4,75	0,04
-4,63	0,04
-4,5	0,04
-4,38	0,05
-4,25	0,05
-4,13	0,06
-4	0,06
-3,88	0,07
-3,75	0,07
-3,63	0,08
-3,5	0,09
-3,38	0,1
-3,25	0,11
-3,13	0,11
-3	0,13
-2,88	0,14
-2,75	0,15
-2,63	0,16
-2,5	0,18
-2,38	0,19
-2,25	0,21
-2,13	0,23
-2	0,25
-1,88	0,27
-1,75	0,3
-1,63	0,32
-1,5	0,35
-1,38	0,39
-1,25	0,42
-1,13	0,46
-1	0,5
-0,88	0,55
-0,75	0,59
-0,63	0,65
-0,5	0,71
-0,38	0,77
-0,25	0,84
-0,13	0,92
0	1
0,13	1,09
0,25	1,19
0,38	1,3
0,5	1,41
0,63	1,54
0,75	1,68
0,88	1,83
1	2
1,13	2,18
1,25	2,38
1,38	2,59
1,5	2,83
1,63	3,08
1,75	3,36
1,88	3,67
2	4
2,13	4,36
2,25	4,76
2,38	5,19
2,5	5,66
2,63	6,17
2,75	6,73
2,88	7,34
3	8

Punkty wykresu w tabeli

Współrzędne próbkowanych punktów; wartości przybliżone do dwóch miejsc po przecinku

x: -6
y: 0,02

x: -5,88
y: 0,02

x: -5,75
y: 0,02

x: -5,63
y: 0,02

Współrzędne próbkowanych punktów; wartości przybliżone do dwóch miejsc po przecinku
x	y
-6	0,02
-5,88	0,02
-5,75	0,02
-5,63	0,02

Współrzędne próbkowanych punktów; wartości przybliżone do dwóch miejsc po przecinku
x	y
-6	0,02
-5,88	0,02
-5,75	0,02
-5,63	0,02
-5,5	0,02
-5,38	0,02
-5,25	0,03
-5,13	0,03
-5	0,03
-4,88	0,03
-4,75	0,04
-4,63	0,04
-4,5	0,04
-4,38	0,05
-4,25	0,05
-4,13	0,06
-4	0,06
-3,88	0,07
-3,75	0,07
-3,63	0,08
-3,5	0,09
-3,38	0,1
-3,25	0,11
-3,13	0,11
-3	0,13
-2,88	0,14
-2,75	0,15
-2,63	0,16
-2,5	0,18
-2,38	0,19
-2,25	0,21
-2,13	0,23
-2	0,25
-1,88	0,27
-1,75	0,3
-1,63	0,32
-1,5	0,35
-1,38	0,39
-1,25	0,42
-1,13	0,46
-1	0,5
-0,88	0,55
-0,75	0,59
-0,63	0,65
-0,5	0,71
-0,38	0,77
-0,25	0,84
-0,13	0,92
0	1
0,13	1,09
0,25	1,19
0,38	1,3
0,5	1,41
0,63	1,54
0,75	1,68
0,88	1,83
1	2
1,13	2,18
1,25	2,38
1,38	2,59
1,5	2,83
1,63	3,08
1,75	3,36
1,88	3,67
2	4
2,13	4,36
2,25	4,76
2,38	5,19
2,5	5,66
2,63	6,17
2,75	6,73
2,88	7,34
3	8

y = 2^x

f(1) ≈ 2. Rysunek pokazuje tylko widoczny fragment wykresu; wartości poza ramką nadal mogą należeć do zbioru wartości.

Źródła: [1] [2] [3].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Wartość ujemnego argumentu

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Oblicz2⁻³.

Oblicz2⁻³.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Użyj odwrotności potęgi.

$2^(−3)=1/2^3.$
2³=8.
Wynik jest dodatni.

Odpowiedź: .

Sprawdzenie i interpretacja: · 8=1.

Przećwicz ten zakres

2. Ta sama podstawa

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Rozwiąż $2^(x+1)=16.$

Rozwiąż2^x+1=16.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Zapisz16 jako potęgę2.

16=2⁴.
Różnowartościowość daje x+1=4.
x=3.

Odpowiedź: 3.

Sprawdzenie i interpretacja: 2³⁺¹=16.

Przećwicz ten zakres

3. Podstawa mniejsza od1

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Rozwiąż $(1/2)^x>1/4.$

Rozwiąż(1/2)^x>1/4.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Zachowaj malejący kierunek.

$1/4=(1/2)^2.$
Funkcja jest malejąca.
Większa wartość odpowiada mniejszemu wykładnikowi:x<2.

Odpowiedź: (−∞,2).

Sprawdzenie i interpretacja: Dla0 wartość1>.

Przećwicz ten zakres

4. Asymptota i wartości

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Podaj zbiór wartości $3·2^x−5.$

Podaj zbiór wartości3·2^x−5.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Prześledź dodatniość.

$2^x$ przyjmuje wszystkie dodatnie wartości.
Mnożenie przez3 zachowuje(0,∞).
Odjęcie5 daje(−5,∞).

Odpowiedź: (−5,∞);asymptota y=−5.

Sprawdzenie i interpretacja: Wartość−5 wymagałaby $2^x=0,$ co niemożliwe.

Przećwicz ten zakres

5. Podwajanie

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Początkowo jest50 obiektów,a liczba podwaja się co godzinę. Ile po3 h?

Początkowo jest50 obiektów,a liczba podwaja się co godzinę. Ile po3 h?

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Zastosuj trzy mnożniki2.

$N(t)=50·2^t.$
N(3)=50·8.
Otrzymujemy400.

Odpowiedź: 400.

Sprawdzenie i interpretacja: Po kolejnych godzinach100,200,400.

Przećwicz ten zakres

6. Wspólna podstawa

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Rozwiąż $4^x=8.$

Rozwiąż4^x=8.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Zapisz obie strony potęgami2.

$4^x=2^(2x).$
8=2³,więc2x=3.
x=.

Odpowiedź: .

Sprawdzenie i interpretacja: $4^(3/2)=(√4)^3=8.$

Przećwicz ten zakres

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: $a^x$ może wynosić0.

Dlaczego to błąd: Dodatnia podstawa daje dodatnią wartość.

Poprawnie: Zero jest granicą,nie osiąganą wartością.

Błędne rozumowanie: Dla $(1/2)^x$ zachowujemy kierunek nierówności wykładników.

Dlaczego to błąd: Ta funkcja maleje.

Poprawnie: Kierunek się odwraca.

Podsumowanie — zapamiętaj

Potęgowanie dodatniej podstawy nie daje zera ani wartości ujemnych.
Po każdym pełnym okresie wartość jest mnożona przez q.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Funkcja wykładnicza — ćwiczenia online

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 02.11.2026.

ZPE: Matematyka — liceum i technikum
Zakres źródła: Treści nauczania w zakresie podstawowym i rozszerzonym
CKE: Funkcje, potęgi i trygonometria
Zakres źródła: Rozdziały2,3,7,9: potęgi, logarytmy, parabola i funkcje trygonometryczne
ZPE: Funkcja wykładnicza — pojęcie
Zakres źródła: Wartości funkcji i model powtarzanego mnożenia