Matematyka

Średni — liceum i technikum

Zakres materiału: podstawowy i rozszerzenie

Rodzaje funkcji

Funkcja wielomianowa

Wielomian jest sumą wyrazów ze stałymi współczynnikami i nieujemnymi całkowitymi potęgami argumentu. Jego dziedzina to R. Rozkład na czynniki pokazuje miejsca zerowe i pomaga badać znak.

Najważniejsze w skrócie

  • Niezerowy wielomian stopnia n ma najwyżej n różnych zer.
  • Dla dużego |x| znak określa wyraz aₙxn.aₙx^n.

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

  • Działania na wielomianach.

Po tej lekcji

  • Odczytaj najwyższą niezerową potęgę
  • Użyj krotności i wyrazu dominującego

Odczytaj najwyższą niezerową potęgę

Zakres: Podstawowy

Po redukcji stopień jest największym wykładnikiem o niezerowym współczynniku. Liczbę zer rzeczywistych ogranicza stopień, ale nie musi być ich dokładnie tyle. Zero wielomianu to rozwiązanie W(x)=0.

Niezerowy wielomian stopnia n ma najwyżej n różnych zer.

Rozkład na czynniki liniowe wskazuje jego pierwiastki.

Kiedy stosujemy: Wielomian zerowy jest osobnym przypadkiem i zeruje się wszędzie.

Przykłady zastosowania

  • x3−x=x(x−1)(x+1).

Źródła: [2].

Użyj krotności i wyrazu dominującego

Zakres: Rozszerzenie

Czynnik(x-a)k(x−a)^k opisuje krotność zera. Przy parzystej wykres może dotykać osi bez zmiany znaku, przy nieparzystej przechodzi na drugą stronę. Przy dużym |x| dominuje wyraz najwyższego stopnia.

Dla dużego |x| znak określa wyraz aₙxn.aₙx^n.

Niższe potęgi rosną wolniej od najwyższej.

Kiedy stosujemy: Najpierw zredukuj współczynniki; zerowy aₙ zmienia stopień.

Przykłady zastosowania

  • −x4 ma oba krańce skierowane w dół.

Źródła: [2].

Sprawdź na interaktywnym modelu

Zobacz, jak to działa

Zmieniaj współczynnik i przesunięcia, aby obserwować wykres. Punkt P pokazuje wartość dla wybranego argumentu. Model służy do swobodnego sprawdzania zależności, bez oceny.

-6-4,5-3-1,501,534,56-8-6-4-202468xyP
Powiększenie i przesuwanie

Plus i minus zmieniają powiększenie. Strzałki przesuwają powiększoną grafikę, Home przywraca całość. Możesz użyć przycisków lub klawiatury po ustawieniu fokusu na grafice.

Opis i oznaczenia

y = x·(x^2−4). Zaznaczony argument x = 1.

  • P: (1; -3)
Punkty wykresu w tabeli

Współrzędne próbkowanych punktów; wartości przybliżone do dwóch miejsc po przecinku

x
-2,63
y
-7,59
x
-2,5
y
-5,63
x
-2,38
y
-3,9
x
-2,25
y
-2,39

y = x·(x2−4)

f(1) ≈ -3. Rysunek pokazuje tylko widoczny fragment wykresu; wartości poza ramką nadal mogą należeć do zbioru wartości.

Źródła: [1] [2].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Stopień

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Podaj stopień2x4−3x2+x−7.

-22-1214xy

Podaj stopień2x4−3x2+x−7.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Znajdź najwyższy niezerowy wyraz.

  1. Najwyższa potęga to x4.
  2. Jej współczynnik2≠0.
  3. Stopień wynosi4.

Odpowiedź: 4.

Sprawdzenie i interpretacja: Niższe wykładniki nie zmieniają stopnia.

Przećwicz ten zakres

2. Wartość

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Oblicz W(−2) dla W=x3−x.

-33-1212xyA

Oblicz W(−2) dla W=x3−x.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Podstaw w nawiasach.

  1. (−2)3=−8.
  2. Odejmujemy x,czyli odejmujemy−2.
  3. −8+2=−6.

Odpowiedź: −6.

Sprawdzenie i interpretacja: W jest nieparzysta,W(2)=6.

Przećwicz ten zakres

3. Rozkład

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Znajdź zera x3−x.

-22-55xy

Znajdź zera x3−x.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Wyłącz x i różnicę kwadratów.

  1. x3−x=x(x2−1).
  2. W=x(x−1)(x+1).
  3. Iloczyn0 gdy x=0,1,−1.

Odpowiedź: −1,0,1.

Sprawdzenie i interpretacja: Każda wartość zeruje jeden czynnik.

Przećwicz ten zakres

4. Krotność

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Podaj krotności zer(x−1)2(x+2)3.

-43-1515xy

Podaj krotności zer(x−1)2(x+2)3.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Odczytaj wykładniki czynników.

  1. x=1 ma krotność2.
  2. x=−2 ma krotność3.
  3. Przy1 znak pozostaje,przy−2 się zmienia.

Odpowiedź: 1:krotność2;−2:krotność3.

Sprawdzenie i interpretacja: Suma krotności5 zgadza się ze stopniem5.

Przećwicz ten zakres

5. Krańce wykresu

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Opisz zachowanie−2x4+3x przy x→±∞.

-33-258xy

Opisz zachowanie−2x4+3x przy x→±∞.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Użyj wyrazu dominującego.

  1. x4 jest dodatnie i rośnie w obu kierunkach.
  2. −2x4 dąży do−∞.
  3. Liniowy składnik nie zmienia dominacji.

Odpowiedź: W obu kierunkach wartości dążą do−∞.

Sprawdzenie i interpretacja: Po podzieleniu przez x4x^4 otrzymujemy-2+3x3→-2.−2+3/x^3→−2.

Przećwicz ten zakres

6. Znak z krotności

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Gdzie(x−1)2(x+2)≤0?

-43-1212xy

Gdzie(x−1)2(x+2)≤0?

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Kwadrat nie zmienia znaku.

  1. Dla x≠1 znak pochodzi z x+2.
  2. Daje x≤−2.
  3. Osobno zero x=1 także spełnia≤0.

Odpowiedź: (−∞,−2]∪{1}.

Sprawdzenie i interpretacja: W1 wartość0,mimo dodatniego znaku po obu stronach.

Przećwicz ten zakres

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: Wielomian stopnia4 musi mieć4 różne rzeczywiste zera.

Dlaczego to błąd: Stopień podaje górną granicę.

Poprawnie: x4+1 nie ma rzeczywistych zer.

Błędne rozumowanie: Każde zero zmienia znak.

Dlaczego to błąd: Parzysta krotność może tylko dotykać osi.

Poprawnie: Sprawdź wykładnik czynnika.

Podsumowanie — zapamiętaj

  • Rozkład na czynniki liniowe wskazuje jego pierwiastki.
  • Niższe potęgi rosną wolniej od najwyższej.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 02.11.2026.

  1. ZPE: Matematyka — liceum i technikum

    Zakres źródła: Treści nauczania w zakresie podstawowym i rozszerzonym

  2. CKE: Funkcje, potęgi i trygonometria

    Zakres źródła: Rozdziały2,3,7,9: potęgi, logarytmy, parabola i funkcje trygonometryczne