Matematyka

Średni — liceum i technikum

Zakres materiału: podstawowy i rozszerzenie

Rodzaje funkcji

Funkcja logarytmiczna

Logarytm odpowiada na pytanie o wykładnik. Funkcja logaxlog_a x jest odwrotna do ax.a^x. Jej argument musi być dodatni,a monotoniczność zależy od tego,czy podstawa jest większa,czy mniejsza od1.

Najważniejsze w skrócie

  • logax=y⇔ay=xlog_a x=y ⇔ a^y=x
  • Dla0<a<1:logau>logav⇔0<u<v0<a<1:log_a u>log_a v ⇔0<u<v

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

  • Definicja logarytmu.

Po tej lekcji

  • Zamień pytanie o logarytm na potęgę
  • Zachowaj dodatni argument przy nierówności

Zamień pytanie o logarytm na potęgę

Zakres: Podstawowy

Wykres przechodzi przez(1,0). Dziedzina to(0,∞),zbiór wartości R,a x=0 jest asymptotą pionową. Dla a>1 funkcja rośnie,dla0<a<1 maleje.

logax=y⇔ay=xlog_a x=y ⇔ a^y=x

Logarytm i potęgowanie cofają swoje działania przy odpowiednich warunkach.

Kiedy stosujemy: a>0,a≠1,x>0.

Przykłady zastosowania

  • log28=3,log_2 8=3,bo23=8.2^3=8.

Źródła: [3].

Zachowaj dodatni argument przy nierówności

Zakres: Rozszerzenie

Najpierw ustal dziedzinę. Dopiero potem porównuj argumenty. W malejącej funkcji logarytmicznej kierunek nierówności się odwraca. Przesunięcie argumentu przesuwa także asymptotę.

Dla0<a<1:logau>logav⇔0<u<v0<a<1:log_a u>log_a v ⇔0<u<v

Warunek dodatniości nie znika podczas porównania.

Kiedy stosujemy: Nie łącz logarytmów bez sprawdzenia dodatniości pierwotnych argumentów.

Przykłady zastosowania

  • log12x>1log_(1/2)x>1 daje0<x<12.0<x<1/2.

Źródła: [3].

Sprawdź na interaktywnym modelu

Zobacz, jak to działa

Zmieniaj współczynnik i przesunięcia, aby obserwować wykres. Punkt P pokazuje wartość dla wybranego argumentu. Model służy do swobodnego sprawdzania zależności, bez oceny.

-6-4,5-3-1,501,534,56-8-6-4-202468xyP
Powiększenie i przesuwanie

Plus i minus zmieniają powiększenie. Strzałki przesuwają powiększoną grafikę, Home przywraca całość. Możesz użyć przycisków lub klawiatury po ustawieniu fokusu na grafice.

Opis i oznaczenia

y = log₂(x). Zaznaczony argument x = 1.

  • P: (1; 0)
Punkty wykresu w tabeli

Współrzędne próbkowanych punktów; wartości przybliżone do dwóch miejsc po przecinku

x
0,13
y
-3
x
0,25
y
-2
x
0,38
y
-1,42
x
0,5
y
-1

y = log₂(x)

f(1) ≈ 0. Rysunek pokazuje tylko widoczny fragment wykresu; wartości poza ramką nadal mogą należeć do zbioru wartości.

Przerywane linie oznaczają asymptoty. Nie należą do wykresu; nie łączymy przez nie gałęzi.

Źródła: [1] [2] [3].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Definicja

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Oblicz log327.log_3 27.

032-14xyA

Oblicz log_3 27.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Znajdź wykładnik.

  1. Szukamy yz3y=27.y z3^y=27.
  2. 33=27.
  3. y=3.

Odpowiedź: 3.

Sprawdzenie i interpretacja: Definicja daje zgodny dodatni argument.

Przećwicz ten zakres

2. Argument dodatni

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Wyznacz dziedzinę log2(x-4).log_2(x−4).

212-44xy

Wyznacz dziedzinę log_2(x−4).

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Postaw ścisłą nierówność.

  1. x−4>0.
  2. x>4.
  3. Punkt4 jest wykluczony.

Odpowiedź: (4,∞).

Sprawdzenie i interpretacja: logarytm z0 nie istnieje.

Przećwicz ten zakres

3. Miejsce zerowe

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Znajdź zero log5x.log_5 x.

-18-33xy

Znajdź zero log_5 x.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Użyj potęgi zerowej.

  1. log5x=0.log_5 x=0.
  2. x=50.
  3. x=1.

Odpowiedź: 1.

Sprawdzenie i interpretacja: log51=0.log_5 1=0.

Przećwicz ten zakres

4. Podstawa malejąca

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Rozwiąż log12x>1.log_(1/2)x>1.

-0,12-24xy

Rozwiąż log_(1/2)x>1.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Połącz monotoniczność i dziedzinę.

  1. x>0.
  2. 1=log12(12).1=log_(1/2)(1/2).
  3. Ponieważ funkcja maleje,x<.

Odpowiedź: (0,).

Sprawdzenie i interpretacja: Dla x= logarytm wynosi2>1.

Przećwicz ten zakres

5. Przesunięty wykres

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Podaj asymptotę i zero log2(x-3)+1.log_2(x−3)+1.

111-35xy

Podaj asymptotę i zero log_2(x−3)+1.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Odczytaj przesunięcie i rozwiąż równanie.

  1. Dziedzina x>3;asymptota x=3.
  2. log2(x-3)=-1.log_2(x−3)=−1.
  3. x−3=,więc x=.

Odpowiedź: Asymptota x=3;zero.

Sprawdzenie i interpretacja: log2(12)+1=0.log_2(1/2)+1=0.

Przećwicz ten zakres

6. Funkcja odwrotna

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Wyznacz odwrotną do f(x)=2x+3.f(x)=2^x+3.

-29-29xy

Wyznacz odwrotną do f(x)=2x+3.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Rozwiąż y względem x i zamień nazwy.

  1. y-3=2x.y−3=2^x.
  2. x=log2(y-3).x=log_2(y−3).
  3. Po zamianie:f-1(x)=log2(x-3),x>3.:f^(−1)(x)=log_2(x−3),x>3.

Odpowiedź: log2(x-3),x>3.log_2(x−3),x>3.

Sprawdzenie i interpretacja: Złożenie log2((2x+3)-3)=x.log_2((2^x+3)−3)=x.

Przećwicz ten zakres

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: Dziedzina log(x-4)log(x−4) to x≥4.

Dlaczego to błąd: Logarytm wymaga argumentu ściśle dodatniego.

Poprawnie: x>4.

Błędne rozumowanie: logax=0log_a x=0 daje x=0.

Dlaczego to błąd: Zero jest wykładnikiem,a0=1.

Poprawnie: x=1.

Podsumowanie — zapamiętaj

  • Logarytm i potęgowanie cofają swoje działania przy odpowiednich warunkach.
  • Warunek dodatniości nie znika podczas porównania.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 02.11.2026.

  1. ZPE: Matematyka — liceum i technikum

    Zakres źródła: Treści nauczania w zakresie podstawowym i rozszerzonym

  2. CKE: Funkcje, potęgi i trygonometria

    Zakres źródła: Rozdziały2,3,7,9: potęgi, logarytmy, parabola i funkcje trygonometryczne

  3. ZPE: Funkcja logarytmiczna

    Zakres źródła: Dziedzina, monotoniczność, wykres i funkcja odwrotna