Matematyka

Średni — liceum i technikum

Zakres materiału: podstawowy

Funkcja liniowa

Funkcja liniowa ma postać f(x)=ax+b. Jej wykres jest prostą niepionową. Współczynnik a opisuje zmianę wyniku na jednostkę argumentu, b wartość dla zera. Dodatkowa stała opłata odróżnia funkcję liniową od proporcjonalności prostej.

Najważniejsze w skrócie

f(x₂)−f(x₁)=a(x₂−x₁)
$a=(y₂−y₁)/(x₂−x₁),$ gdy x₂≠x₁

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

Współrzędne i równania liniowe.

Po tej lekcji

Odczytaj nachylenie i przecięcie
Wyznacz brakujące dane

Odczytaj nachylenie i przecięcie

Zakres: Podstawowy

Dla a>0 funkcja rośnie, dla a<0 maleje, dla a=0 jest stała. Wartość b wyznacza punkt(0,b). Prosta pionowa x=c nie jest wykresem funkcji liniowej y=f(x).

f(x₂)−f(x₁)=a(x₂−x₁)

Wyraz b znika w różnicy, więc a jest stałym tempem zmiany.

Kiedy stosujemy: Dziedzina wzoru liniowego jest R, chyba że kontekst ją ogranicza.

Przykłady zastosowania

f(x)=3x+2 rośnie o3 przy wzroście x o1.

Źródła: [2].

Wyznacz brakujące dane

Zakres: Podstawowy

Miejsce zerowe dla a≠0 to $−b/a.$ Dwa punkty o różnych x wyznaczają a przez iloraz zmian, a potem b przez podstawienie. Dla stałej zerowej każdy argument jest miejscem zerowym, dla niezerowej żaden.

$a=(y₂−y₁)/(x₂−x₁),$ gdy x₂≠x₁

Dwie różne wartości argumentu ustalają jedno nachylenie.

Kiedy stosujemy: Przy rozwiązywaniu nierówności pamiętaj o znaku a.

Przykłady zastosowania

Przez(0,2),(2,8): a=3,b=2.

Źródła: [2].

Sprawdź na interaktywnym modelu

Zobacz, jak to działa

Zmieniaj współczynnik i przesunięcia, aby obserwować wykres. Punkt P pokazuje wartość dla wybranego argumentu. Model służy do swobodnego sprawdzania zależności, bez oceny.

Współczynnik a (różny od zera)Przesunięcie poziome p: 0Przesunięcie pionowe q: 0Argument punktu P: 1

Powiększenie i przesuwanie

Plus i minus zmieniają powiększenie. Strzałki przesuwają powiększoną grafikę, Home przywraca całość. Możesz użyć przycisków lub klawiatury po ustawieniu fokusu na grafice.

Opis i oznaczenia

y = x. Zaznaczony argument x = 1.

P: (1; 1)

Punkty wykresu w tabeli

Współrzędne próbkowanych punktów; wartości przybliżone do dwóch miejsc po przecinku

x: -6
y: -6

x: -5,88
y: -5,88

x: -5,75
y: -5,75

x: -5,63
y: -5,63

Współrzędne próbkowanych punktów; wartości przybliżone do dwóch miejsc po przecinku
x	y
-6	-6
-5,88	-5,88
-5,75	-5,75
-5,63	-5,63

Współrzędne próbkowanych punktów; wartości przybliżone do dwóch miejsc po przecinku
x	y
-6	-6
-5,88	-5,88
-5,75	-5,75
-5,63	-5,63
-5,5	-5,5
-5,38	-5,38
-5,25	-5,25
-5,13	-5,13
-5	-5
-4,88	-4,88
-4,75	-4,75
-4,63	-4,63
-4,5	-4,5
-4,38	-4,38
-4,25	-4,25
-4,13	-4,13
-4	-4
-3,88	-3,88
-3,75	-3,75
-3,63	-3,63
-3,5	-3,5
-3,38	-3,38
-3,25	-3,25
-3,13	-3,13
-3	-3
-2,88	-2,88
-2,75	-2,75
-2,63	-2,63
-2,5	-2,5
-2,38	-2,38
-2,25	-2,25
-2,13	-2,13
-2	-2
-1,88	-1,88
-1,75	-1,75
-1,63	-1,63
-1,5	-1,5
-1,38	-1,38
-1,25	-1,25
-1,13	-1,13
-1	-1
-0,88	-0,88
-0,75	-0,75
-0,63	-0,63
-0,5	-0,5
-0,38	-0,38
-0,25	-0,25
-0,13	-0,13
0	0
0,13	0,13
0,25	0,25
0,38	0,38
0,5	0,5
0,63	0,63
0,75	0,75
0,88	0,88
1	1
1,13	1,13
1,25	1,25
1,38	1,38
1,5	1,5
1,63	1,63
1,75	1,75
1,88	1,88
2	2
2,13	2,13
2,25	2,25
2,38	2,38
2,5	2,5
2,63	2,63
2,75	2,75
2,88	2,88
3	3
3,13	3,13
3,25	3,25
3,38	3,38
3,5	3,5
3,63	3,63
3,75	3,75
3,88	3,88
4	4
4,13	4,13
4,25	4,25
4,38	4,38
4,5	4,5
4,63	4,63
4,75	4,75
4,88	4,88
5	5
5,13	5,13
5,25	5,25
5,38	5,38
5,5	5,5
5,63	5,63
5,75	5,75
5,88	5,88
6	6

Punkty wykresu w tabeli

Współrzędne próbkowanych punktów; wartości przybliżone do dwóch miejsc po przecinku

x: -6
y: -6

x: -5,88
y: -5,88

x: -5,75
y: -5,75

x: -5,63
y: -5,63

Współrzędne próbkowanych punktów; wartości przybliżone do dwóch miejsc po przecinku
x	y
-6	-6
-5,88	-5,88
-5,75	-5,75
-5,63	-5,63

Współrzędne próbkowanych punktów; wartości przybliżone do dwóch miejsc po przecinku
x	y
-6	-6
-5,88	-5,88
-5,75	-5,75
-5,63	-5,63
-5,5	-5,5
-5,38	-5,38
-5,25	-5,25
-5,13	-5,13
-5	-5
-4,88	-4,88
-4,75	-4,75
-4,63	-4,63
-4,5	-4,5
-4,38	-4,38
-4,25	-4,25
-4,13	-4,13
-4	-4
-3,88	-3,88
-3,75	-3,75
-3,63	-3,63
-3,5	-3,5
-3,38	-3,38
-3,25	-3,25
-3,13	-3,13
-3	-3
-2,88	-2,88
-2,75	-2,75
-2,63	-2,63
-2,5	-2,5
-2,38	-2,38
-2,25	-2,25
-2,13	-2,13
-2	-2
-1,88	-1,88
-1,75	-1,75
-1,63	-1,63
-1,5	-1,5
-1,38	-1,38
-1,25	-1,25
-1,13	-1,13
-1	-1
-0,88	-0,88
-0,75	-0,75
-0,63	-0,63
-0,5	-0,5
-0,38	-0,38
-0,25	-0,25
-0,13	-0,13
0	0
0,13	0,13
0,25	0,25
0,38	0,38
0,5	0,5
0,63	0,63
0,75	0,75
0,88	0,88
1	1
1,13	1,13
1,25	1,25
1,38	1,38
1,5	1,5
1,63	1,63
1,75	1,75
1,88	1,88
2	2
2,13	2,13
2,25	2,25
2,38	2,38
2,5	2,5
2,63	2,63
2,75	2,75
2,88	2,88
3	3
3,13	3,13
3,25	3,25
3,38	3,38
3,5	3,5
3,63	3,63
3,75	3,75
3,88	3,88
4	4
4,13	4,13
4,25	4,25
4,38	4,38
4,5	4,5
4,63	4,63
4,75	4,75
4,88	4,88
5	5
5,13	5,13
5,25	5,25
5,38	5,38
5,5	5,5
5,63	5,63
5,75	5,75
5,88	5,88
6	6

y = x

f(1) ≈ 1. Rysunek pokazuje tylko widoczny fragment wykresu; wartości poza ramką nadal mogą należeć do zbioru wartości.

Źródła: [1] [2].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Odczyt

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Dla f(x)=−2x+5 podaj a,b i monotoniczność.

Dla f(x)=−2x+5 podaj a,b i monotoniczność.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Odczytaj współczynniki ze znakami.

a=−2,b=5.
a<0,więc funkcja maleje.
Punkt na osi Y to(0,5).

Odpowiedź: a=−2,b=5; malejąca.

Sprawdzenie i interpretacja: f(x+1)−f(x)=−2.

Przećwicz ten zakres

2. Miejsce zerowe

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Znajdź zero3x−6.

Znajdź zero3x−6.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Rozwiąż f(x)=0.

3x−6=0.
3x=6.
x=2.

Odpowiedź: 2.

Sprawdzenie i interpretacja: 3 · 2−6=0.

Przećwicz ten zakres

3. Dodatniość

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Kiedy−2x+6>0?

Kiedy−2x+6>0?

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Rozwiąż nierówność.

−2x>−6.
Dzielimy przez ujemne−2 i odwracamy znak.
x<3.

Odpowiedź: (−∞,3).

Sprawdzenie i interpretacja: Dla0 wartość6>0,dla4 wartość−2.

Przećwicz ten zakres

4. Wzór

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Wyznacz wzór przez(1,4) i(3,10).

Wyznacz wzór przez(1,4) i(3,10).

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Najpierw iloraz zmian.

$a=(10−4)/(3−1)=3.$
4=3 · 1+b,więc b=1.
f(x)=3x+1.

Odpowiedź: 3x+1.

Sprawdzenie i interpretacja: f(3)=10.

Przećwicz ten zakres

5. Stała zerowa

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Ile zer ma f(x)=0?

Ile zer ma f(x)=0?

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Sprawdź każdy argument.

Wartość wynosi0 niezależnie od x.
Każda rzeczywista spełnia f(x)=0.
Zbiór zer to R.

Odpowiedź: Nieskończenie wiele; wszystkie rzeczywiste.

Sprawdzenie i interpretacja: Wykres pokrywa się z osią X.

Przećwicz ten zakres

6. Stała opłata

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Przejazd kosztuje8 zł plus3 zł $/$ km. Zapisz koszt i oblicz go dla5 km.

Przejazd kosztuje8 zł plus3 zł/km. Zapisz koszt i oblicz go dla5 km.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Oddziel stawkę i opłatę początkową.

K(x)=3x+8,x≥0.
K(5)=15+8.
Koszt to23 zł.

Odpowiedź: K(x)=3x+8;23 zł.

Sprawdzenie i interpretacja: Dwa razy dłuższa droga nie podwaja opłaty początkowej.

Przećwicz ten zakres

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: b opisuje nachylenie.

Dlaczego to błąd: b jest wartością dla x=0.

Poprawnie: Nachyleniem jest a.

Błędne rozumowanie: Stała nie ma żadnych zer.

Dlaczego to błąd: Stała0 zeruje się dla każdego argumentu.

Poprawnie: Rozróżnij b=0 i b≠0.

Podsumowanie — zapamiętaj

Wyraz b znika w różnicy, więc a jest stałym tempem zmiany.
Dwie różne wartości argumentu ustalają jedno nachylenie.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Funkcja liniowa — ćwiczenia online

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 02.11.2026.

ZPE: Matematyka — liceum i technikum
Zakres źródła: Treści nauczania w zakresie podstawowym i rozszerzonym
CKE: Funkcje, potęgi i trygonometria
Zakres źródła: Rozdziały2,3,7,9: potęgi, logarytmy, parabola i funkcje trygonometryczne