Matematyka

Średni — liceum i technikum

Zakres materiału: podstawowy i rozszerzenie

Rodzaje funkcji

Funkcja kwadratowa

Parabola opisuje funkcję ax2+bx+c z a≠0. Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa pokazują inne informacje: współczynniki, wierzchołek albo zera. Wybieraj postać według pytania.

Najważniejsze w skrócie

  • p=-b(2a),q=-Δ(4a);Δ=b2-4acp=−b/(2a),q=−Δ/(4a); Δ=b^2−4ac
  • Wybrana postać powinna wykorzystać podane dane.

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

  • Równania kwadratowe i wzory skróconego mnożenia.

Po tej lekcji

  • Zobacz, co ujawnia każda postać
  • Wyznacz współczynnik z warunków

Zobacz, co ujawnia każda postać

Zakres: Podstawowy

Postać kanoniczna a(x−p)2+q pokazuje wierzchołek(p,q), oś x=p i ekstremum q. Znak a decyduje o kierunku ramion. Postać iloczynowa wymaga rzeczywistych pierwiastków.

p=-b(2a),q=-Δ(4a);Δ=b2-4acp=−b/(2a),q=−Δ/(4a); Δ=b^2−4ac

Dopełnienie kwadratu wiąże postać ogólną z kanoniczną.

Kiedy stosujemy: a≠0; postać iloczynowa nad R istnieje dla Δ≥0.

Przykłady zastosowania

  • x2−4x+3=(x−2)2−1=(x−1)(x−3).
Porównaj wzór,wierzchołek i rozwarcie ramion.

Zmieniaj współczynnik i przesunięcia, aby obserwować wykres. Punkt P pokazuje wartość dla wybranego argumentu. Model służy do swobodnego sprawdzania zależności, bez oceny.

-6-4,5-3-1,501,534,56-8-6-4-202468xyP
Powiększenie i przesuwanie

Plus i minus zmieniają powiększenie. Strzałki przesuwają powiększoną grafikę, Home przywraca całość. Możesz użyć przycisków lub klawiatury po ustawieniu fokusu na grafice.

Opis i oznaczenia

y = x^2. Zaznaczony argument x = 1.

  • P: (1; 1)
Punkty wykresu w tabeli

Współrzędne próbkowanych punktów; wartości przybliżone do dwóch miejsc po przecinku

x
-2,75
y
7,56
x
-2,63
y
6,89
x
-2,5
y
6,25
x
-2,38
y
5,64

y = x2

Wierzchołek W = (0; 0). Ramiona w górę; |a| = 1. Dziedzina: wszystkie liczby rzeczywiste.

f(1) ≈ 1. Rysunek pokazuje tylko widoczny fragment wykresu; wartości poza ramką nadal mogą należeć do zbioru wartości.

Źródła: [2].

Wyznacz współczynnik z warunków

Zakres: Rozszerzenie

Znając wierzchołek, zapisz a(x−p)2+q i podstaw inny punkt. Znając zera, użyj a(x−x₁)(x−x₂). Jeżeli współczynnik przy x2 może zniknąć, przypadek liniowy trzeba rozpatrzyć osobno.

Wybrana postać powinna wykorzystać podane dane.

Mniej niewiadomych upraszcza rachunek i ogranicza błędy znaków.

Kiedy stosujemy: Podstawiany punkt inny niż wierzchołek pozwala wyznaczyć a.

Przykłady zastosowania

  • Wierzchołek(1,2),punkt(3,10)→a=2.

Źródła: [2].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Dopełnienie kwadratu

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Znajdź wierzchołek x2−4x+3.

-15-310xy

Znajdź wierzchołek x2−4x+3.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Uzupełnij kwadrat.

  1. x2−4x+3=(x−2)2−1.
  2. Odczytujemy p=2,q=−1.
  3. Ramiona są skierowane w górę.

Odpowiedź: (2,−1).

Sprawdzenie i interpretacja: f(2)=−1 i f(1)=f(3)=0.

Przećwicz ten zakres

2. Postać iloczynowa

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Znajdź zera x2−5x+6.

-16-310xy

Znajdź zera x2−5x+6.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Rozłóż na dwa czynniki.

  1. Szukamy liczb o sumie−5 i iloczynie6.
  2. To−2 i−3.
  3. f=(x−2)(x−3),więc zera2 i3.

Odpowiedź: 2 i3.

Sprawdzenie i interpretacja: 4−10+6=0,9−15+6=0.

Przećwicz ten zakres

3. Zbiór wartości

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Wyznacz wartości−2(x+1)2+8.

-42-810xy

Wyznacz wartości−2(x+1)2+8.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Użyj kierunku ramion i wierzchołka.

  1. Kwadrat jest nieujemny.
  2. −2 razy kwadrat jest≤0.
  3. Maksimum8 osiąga się w−1.

Odpowiedź: (−∞,8].

Sprawdzenie i interpretacja: Dla dowolnego y≤8 można wyznaczyć(x+1)2=(8-y)2.(x+1)^2=(8−y)/2.

Przećwicz ten zakres

4. Wierzchołek i punkt

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Parabola ma wierzchołek(1,2),przechodzi przez(3,10). Znajdź wzór.

-24014xyAB

Parabola ma wierzchołek(1,2),przechodzi przez(3,10). Znajdź wzór.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Zapisz postać kanoniczną.

  1. f=a(x−1)2+2.
  2. 10=4a+2→a=2.
  3. f=2(x−1)2+2.

Odpowiedź: 2(x−1)2+2.

Sprawdzenie i interpretacja: Dla x=1 wynik2,dla3 wynik10.

Przećwicz ten zakres

5. Zera i punkt

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Zera to−1 i3,a f(0)=6. Znajdź wzór.

-35-812xyABC

Zera to−1 i3,a f(0)=6. Znajdź wzór.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Zapisz postać iloczynową.

  1. f=a(x+1)(x−3).
  2. 6=a · 1 · (−3),więc a=−2.
  3. f=−2(x+1)(x−3).

Odpowiedź: −2(x+1)(x−3).

Sprawdzenie i interpretacja: Dla0 wartość6,a oba zera zerują odpowiedni czynnik.

Przećwicz ten zakres

6. Brak zer

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Czy x2+2x+5 ma postać iloczynową z rzeczywistymi zerami?

-42014xy

Czy x2+2x+5 ma postać iloczynową z rzeczywistymi zerami?

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Oblicz wyróżnik lub minimum.

  1. Δ=4−20=−16<0.
  2. Nie ma zer rzeczywistych.
  3. Postać(x+1)2+4 jest zawsze dodatnia.

Odpowiedź: Nie.

Sprawdzenie i interpretacja: Minimum4 wyklucza przecięcie osi X.

Przećwicz ten zakres

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: W(a,b) odczytujemy jako W(p,−q).

Dlaczego to błąd: W postaci a(x−p)2+q współrzędna pionowa to q.

Poprawnie: Odczytaj oba znaki dokładnie.

Błędne rozumowanie: Każda kwadratowa ma dwa rzeczywiste zera.

Dlaczego to błąd: Liczba zer zależy od Δ.

Poprawnie: Δ<0 daje brak zer.

Podsumowanie — zapamiętaj

  • Dopełnienie kwadratu wiąże postać ogólną z kanoniczną.
  • Mniej niewiadomych upraszcza rachunek i ogranicza błędy znaków.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 02.11.2026.

  1. ZPE: Matematyka — liceum i technikum

    Zakres źródła: Treści nauczania w zakresie podstawowym i rozszerzonym

  2. CKE: Funkcje, potęgi i trygonometria

    Zakres źródła: Rozdziały2,3,7,9: potęgi, logarytmy, parabola i funkcje trygonometryczne