Matematyka

Średni — liceum i technikum

Zakres materiału: rozszerzenie

Algebra

Dzielenie wielomianów

Dzielenie wielomianów szuka ilorazu i ewentualnej reszty. Każdy krok eliminuje najwyższą potęgę aktualnej reszty. Wynik sprawdzamy tożsamością: dzielna równa się dzielnik razy iloraz plus reszta. To samo myślenie wyjaśnia schemat Hornera i twierdzenie o reszcie.

Najważniejsze w skrócie

  • W=DQ+R, gdzie R=0 lub stopień R jest mniejszy od stopnia D.
  • Brakująca potęga potrzebuje współczynnika 0.
  • W(a)=0 ⇔ wielomian jest podzielny przez x−a.

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

  • Działania na wielomianach i uporządkowane współczynniki.

Po tej lekcji

  • Dziel, pomnóż i odejmij
  • Skrócone dzielenie przez x−a
  • Reszta z dzielenia przez x−a to W(a)

Dziel, pomnóż i odejmij

Ułóż wyrazy według malejących potęg, także z zerowymi współczynnikami brakujących potęg. Podziel najwyższy wyraz bieżącej dzielnej przez najwyższy wyraz dzielnika. Otrzymany składnik dopisz do ilorazu, pomnóż przez cały dzielnik i odejmij. Powtarzaj, aż reszta ma niższy stopień niż dzielnik.

W=DQ+R, gdzie R=0 lub stopień R jest mniejszy od stopnia D.

Po odjęciu dobranego iloczynu znika najwyższa potęga.

Kiedy stosujemy: Dzielnik nie może być wielomianem zerowym.

Przykłady zastosowania

  • x2+1=(x−1)(x+1)+2.

Źródła: [1].

Skrócone dzielenie przez x−a

W schemacie Hornera zapisujemy wszystkie współczynniki, a obok liczbę a. Pierwszy współczynnik przepisujemy; każdy następny wynik mnożymy przez a i dodajemy kolejny współczynnik. Ostatnia liczba to reszta, poprzednie tworzą iloraz. Dla dzielnika x+2 wstawiamy a=−2.

Brakująca potęga potrzebuje współczynnika 0.

Każda kolumna odpowiada konkretnej potędze; jej pominięcie przesuwa cały rachunek.

Kiedy stosujemy: Ta postać schematu dotyczy dzielnika x−a o współczynniku 1 przy x.

Przykłady zastosowania

  • Dla x3−4x+3 współczynniki to 1,0, −4,3.

Źródła: [1].

Reszta z dzielenia przez x−a to W(a)

W tożsamości W(x)=(x−a)Q(x)+r podstawiamy x=a. Iloczyn z czynnikiem 0 znika, więc W(a)=r. W szczególności x−a jest czynnikiem wtedy i tylko wtedy, gdy W(a)=0. To pozwala sprawdzić podzielność bez pełnego dzielenia.

W(a)=0 ⇔ wielomian jest podzielny przez x−a.

Odpowiada to zerowej reszcie.

Kiedy stosujemy: Nie pomyl a ze stałą zapisaną po plusie w dzielniku.

Przykłady zastosowania

  • Reszta z dzielenia W przez x+2 wynosi W(−2).

Źródła: [1].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Dzielenie bez reszty

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Podziel x3−2x2−x+2 przez x−2.

Jak podejść do zadania: Eliminuj najwyższe potęgi.

  1. x3: x=x2; po odjęciu(x−2)x2 zostaje −x+2.
  2. −x: x=−1; odejmuję −x+2.
  3. Reszta wynosi 0.

Odpowiedź: Iloraz x2−1, reszta 0.

Sprawdzenie i interpretacja: (x−2)(x2−1)=x3−2x2−x+2.

Przećwicz ten zakres

2. Reszta nie jest błędem

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Podziel x2+1 przez x−1.

Jak podejść do zadania: Dopisuj iloraz do chwili otrzymania stałej.

  1. Pierwszy składnik ilorazu x; po odjęciu x2−x zostaje x+1.
  2. Kolejny składnik 1; odejmuję x−1.
  3. Pozostaje2.

Odpowiedź: Iloraz x+1, reszta 2.

Sprawdzenie i interpretacja: (x−1)(x+1)+2=x2+1.

Przećwicz ten zakres

3. Zero przy brakującej potędze

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Użyj Hornera dla(x3−4x+3): (x−1).

Jak podejść do zadania: Zapisz współczynniki 1,0, −4,3 oraz a=1.

  1. Przepisuję1;1·1+0=1.
  2. 1·1−4=−3.
  3. −3·1+3=0.

Odpowiedź: Iloraz x2+x−3, reszta 0.

Sprawdzenie i interpretacja: (x−1)(x2+x−3)=x3−4x+3.

Przećwicz ten zakres

4. Reszta przez podstawienie

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Znajdź resztę z dzielenia x3+2x−1 przez x−2.

Jak podejść do zadania: Oblicz W(2).

  1. 23+2·2−1.
  2. 8+4−1=11.
  3. Reszta dla liniowego dzielnika jest stała.

Odpowiedź: 11.

Sprawdzenie i interpretacja: Podstawienie x=2 w W=(x−2)Q+r pozostawia właśnie r.

Przećwicz ten zakres

5. Parametr dla podzielności

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Dla jakiego k wielomian x3+kx+2 jest podzielny przez x−1?

Jak podejść do zadania: Wyzeruj resztę W(1).

  1. W(1)=1+k+2=k+3.
  2. Podzielność wymaga k+3=0.
  3. k=−3.

Odpowiedź: k=−3.

Sprawdzenie i interpretacja: Wtedy W(1)=1−3+2=0.

Przećwicz ten zakres

6. Dzielnik drugiego stopnia

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Podziel x4+1 przez x2+1.

Jak podejść do zadania: Wykorzystaj różnicę kwadratów lub dzielenie.

  1. x4: x2=x2; po odjęciu x4+x2 zostaje −x2+1.
  2. Kolejny składnik to −1.
  3. Po odjęciu −x2−1 zostaje 2.

Odpowiedź: Iloraz x2−1, reszta 2.

Sprawdzenie i interpretacja: (x2+1)(x2−1)+2=x4+1; stopień reszty 0<2.

Przećwicz ten zakres

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: W Hornerze pomijam brakującą potęgę.

Dlaczego to błąd: Zmienia się przypisanie kolumn do potęg.

Poprawnie: Wpisz współczynnik 0.

Błędne rozumowanie: Reszta z dzielenia przez x+2 to W(2).

Dlaczego to błąd: Dzielnik ma postać x−(−2).

Poprawnie: Oblicz W(−2).

Podsumowanie — zapamiętaj

  • Po odjęciu dobranego iloczynu znika najwyższa potęga.
  • Każda kolumna odpowiada konkretnej potędze; jej pominięcie przesuwa cały rachunek.
  • Odpowiada to zerowej reszcie.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 23.10.2026.

  1. ZPE — dzielenie wielomianów
  2. ZPE — działania na wielomianach