Matematyka

Średni — liceum i technikum

Zakres materiału: podstawowy i rozszerzenie

Dziedzina i zbiór wartości

Dziedzina odpowiada na pytanie, jakie argumenty wolno podstawić. Zbiór wartości mówi, jakie wyniki można otrzymać. To dwa różne zbiory, odczytywane z wykresu odpowiednio na osi poziomej i pionowej.

Najważniejsze w skrócie

Dziedzina: dozwolone x; zbiór wartości: osiągalne y.
Warunki dziedziny łączymy częścią wspólną.

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

Przedziały i podstawowe funkcje.

Po tej lekcji

Oddziel wejścia od wyników
Połącz wszystkie ograniczenia

Oddziel wejścia od wyników

Zakres: Podstawowy

Mianownik nie może być zerowy, wyrażenie pod pierwiastkiem parzystym musi być nieujemne, argument logarytmu dodatni. Warunki obowiązują równocześnie.

Zbiór wartości wyznaczamy z własności funkcji, nie z samych warunków podstawiania. Kwadrat jest nieujemny, więc x²+3 nie przyjmuje wartości mniejszych niż3.

Dziedzina: dozwolone x; zbiór wartości: osiągalne y.

Funkcja przyporządkowuje każdemu argumentowi dokładnie jeden wynik.

Kiedy stosujemy: W zapisie przedziału zaznacz, czy wartość brzegowa jest osiągana.

Przykłady zastosowania

$√(x−2): D=[2,∞), W=[0,∞).$

Źródła: [3].

Połącz wszystkie ograniczenia

Zakres: Rozszerzenie

Jeśli pierwiastek jest w mianowniku, jego argument musi być dodatni, a nie tylko nieujemny. Skracanie ułamka nie przywraca wartości wykluczonych w pierwotnym wzorze.

Warunki dziedziny łączymy częścią wspólną.

Argument jest dozwolony tylko wtedy, gdy spełnia każdy warunek.

Kiedy stosujemy: Zera mianownika pozostają wykluczone po skróceniu.

Przykłady zastosowania

$1/√(x−1): x>1.$

Źródła: [3].

Sprawdź na interaktywnym modelu

Zobacz, jak to działa

Zmieniaj współczynnik i przesunięcia, aby obserwować wykres. Punkt P pokazuje wartość dla wybranego argumentu. Model służy do swobodnego sprawdzania zależności, bez oceny.

Współczynnik a (różny od zera)Przesunięcie poziome p: 0Przesunięcie pionowe q: 0Argument punktu P: 1

Powiększenie i przesuwanie

Plus i minus zmieniają powiększenie. Strzałki przesuwają powiększoną grafikę, Home przywraca całość. Możesz użyć przycisków lub klawiatury po ustawieniu fokusu na grafice.

Opis i oznaczenia

y = 1/x. Zaznaczony argument x = 1.

P: (1; 1)

Punkty wykresu w tabeli

Współrzędne próbkowanych punktów; wartości przybliżone do dwóch miejsc po przecinku

x: -6
y: -0,17

x: -5,88
y: -0,17

x: -5,75
y: -0,17

x: -5,63
y: -0,18

Współrzędne próbkowanych punktów; wartości przybliżone do dwóch miejsc po przecinku
x	y
-6	-0,17
-5,88	-0,17
-5,75	-0,17
-5,63	-0,18

Współrzędne próbkowanych punktów; wartości przybliżone do dwóch miejsc po przecinku
x	y
-6	-0,17
-5,88	-0,17
-5,75	-0,17
-5,63	-0,18
-5,5	-0,18
-5,38	-0,19
-5,25	-0,19
-5,13	-0,2
-5	-0,2
-4,88	-0,21
-4,75	-0,21
-4,63	-0,22
-4,5	-0,22
-4,38	-0,23
-4,25	-0,24
-4,13	-0,24
-4	-0,25
-3,88	-0,26
-3,75	-0,27
-3,63	-0,28
-3,5	-0,29
-3,38	-0,3
-3,25	-0,31
-3,13	-0,32
-3	-0,33
-2,88	-0,35
-2,75	-0,36
-2,63	-0,38
-2,5	-0,4
-2,38	-0,42
-2,25	-0,44
-2,13	-0,47
-2	-0,5
-1,88	-0,53
-1,75	-0,57
-1,63	-0,62
-1,5	-0,67
-1,38	-0,73
-1,25	-0,8
-1,13	-0,89
-1	-1
-0,88	-1,14
-0,75	-1,33
-0,63	-1,6
-0,5	-2
-0,38	-2,67
-0,25	-4
-0,13	-8
0,13	8
0,25	4
0,38	2,67
0,5	2
0,63	1,6
0,75	1,33
0,88	1,14
1	1
1,13	0,89
1,25	0,8
1,38	0,73
1,5	0,67
1,63	0,62
1,75	0,57
1,88	0,53
2	0,5
2,13	0,47
2,25	0,44
2,38	0,42
2,5	0,4
2,63	0,38
2,75	0,36
2,88	0,35
3	0,33
3,13	0,32
3,25	0,31
3,38	0,3
3,5	0,29
3,63	0,28
3,75	0,27
3,88	0,26
4	0,25
4,13	0,24
4,25	0,24
4,38	0,23
4,5	0,22
4,63	0,22
4,75	0,21
4,88	0,21
5	0,2
5,13	0,2
5,25	0,19
5,38	0,19
5,5	0,18
5,63	0,18
5,75	0,17
5,88	0,17
6	0,17

Punkty wykresu w tabeli

Współrzędne próbkowanych punktów; wartości przybliżone do dwóch miejsc po przecinku

x: -6
y: -0,17

x: -5,88
y: -0,17

x: -5,75
y: -0,17

x: -5,63
y: -0,18

Współrzędne próbkowanych punktów; wartości przybliżone do dwóch miejsc po przecinku
x	y
-6	-0,17
-5,88	-0,17
-5,75	-0,17
-5,63	-0,18

Współrzędne próbkowanych punktów; wartości przybliżone do dwóch miejsc po przecinku
x	y
-6	-0,17
-5,88	-0,17
-5,75	-0,17
-5,63	-0,18
-5,5	-0,18
-5,38	-0,19
-5,25	-0,19
-5,13	-0,2
-5	-0,2
-4,88	-0,21
-4,75	-0,21
-4,63	-0,22
-4,5	-0,22
-4,38	-0,23
-4,25	-0,24
-4,13	-0,24
-4	-0,25
-3,88	-0,26
-3,75	-0,27
-3,63	-0,28
-3,5	-0,29
-3,38	-0,3
-3,25	-0,31
-3,13	-0,32
-3	-0,33
-2,88	-0,35
-2,75	-0,36
-2,63	-0,38
-2,5	-0,4
-2,38	-0,42
-2,25	-0,44
-2,13	-0,47
-2	-0,5
-1,88	-0,53
-1,75	-0,57
-1,63	-0,62
-1,5	-0,67
-1,38	-0,73
-1,25	-0,8
-1,13	-0,89
-1	-1
-0,88	-1,14
-0,75	-1,33
-0,63	-1,6
-0,5	-2
-0,38	-2,67
-0,25	-4
-0,13	-8
0,13	8
0,25	4
0,38	2,67
0,5	2
0,63	1,6
0,75	1,33
0,88	1,14
1	1
1,13	0,89
1,25	0,8
1,38	0,73
1,5	0,67
1,63	0,62
1,75	0,57
1,88	0,53
2	0,5
2,13	0,47
2,25	0,44
2,38	0,42
2,5	0,4
2,63	0,38
2,75	0,36
2,88	0,35
3	0,33
3,13	0,32
3,25	0,31
3,38	0,3
3,5	0,29
3,63	0,28
3,75	0,27
3,88	0,26
4	0,25
4,13	0,24
4,25	0,24
4,38	0,23
4,5	0,22
4,63	0,22
4,75	0,21
4,88	0,21
5	0,2
5,13	0,2
5,25	0,19
5,38	0,19
5,5	0,18
5,63	0,18
5,75	0,17
5,88	0,17
6	0,17

y = 1/x

f(1) ≈ 1. Rysunek pokazuje tylko widoczny fragment wykresu; wartości poza ramką nadal mogą należeć do zbioru wartości.

Przerywane linie oznaczają asymptoty. Nie należą do wykresu; nie łączymy przez nie gałęzi.

Źródła: [1] [2] [3].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Mianownik

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Wyznacz dziedzinę $1/(x−3).$

Wyznacz dziedzinę1/(x−3).

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Wyklucz zero mianownika.

x−3≠0.
x≠3.
Każda inna rzeczywista jest dopuszczalna.

Odpowiedź: R∖{3}.

Sprawdzenie i interpretacja: Dla x=3 działanie wymagałoby dzielenia przez0.

Przećwicz ten zakres

2. Pierwiastek

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Wyznacz dziedzinę $√(x−2).$

Wyznacz dziedzinę√(x−2).

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Wymagaj nieujemnego argumentu.

x−2≥0.
x≥2.
Równość dopuszcza pierwiastek z0.

Odpowiedź: [2,∞).

Sprawdzenie i interpretacja: Dla x=2 wartość0 istnieje.

Przećwicz ten zakres

3. Zbiór wartości

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Wyznacz zbiór wartości(x−1)²+3.

Wyznacz zbiór wartości(x−1)²+3.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Użyj nieujemności kwadratu.

(x−1)²≥0.
Najmniejszy wynik to3 przy x=1.
Kwadrat przyjmuje każdą nieujemną wartość.

Odpowiedź: [3,∞).

Sprawdzenie i interpretacja: Dla y≥3 można wybrać $x=1+√(y−3).$

Przećwicz ten zakres

4. Pierwiastek w mianowniku

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Wyznacz dziedzinę $1/√(x−1).$

Wyznacz dziedzinę1/√(x−1).

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Połącz pierwiastek i niezerowy mianownik.

x−1≥0 dla pierwiastka.
$√(x−1)≠0$ wyklucza x=1.
Razem x>1.

Odpowiedź: (1,∞).

Sprawdzenie i interpretacja: Dla każdej x>1 mianownik jest dodatni.

Przećwicz ten zakres

5. Logarytm i ułamek

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Wyznacz dziedzinę $log_2((x−1)/(x+1)).$

Wyznacz dziedzinę log_2((x−1)/(x+1)).

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Rozwiąż dodatniość argumentu.

Wymagamy $(x−1)/(x+1)>0.$
Punkty graniczne−1 i1 dzielą oś.
Iloraz jest dodatni dla x<−1 lub x>1.

Odpowiedź: (−∞,−1)∪(1,∞).

Sprawdzenie i interpretacja: x=−1 zeruje mianownik, x=1 argument; oba wykluczone.

Przećwicz ten zakres

6. Osiągalna wartość

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Wyznacz zbiór wartości $(x^2−1)/(x−1).$

Wyznacz zbiór wartości(x²−1)/(x−1).

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Zachowaj wykluczenie po skróceniu.

Dziedzina:x≠1.
Dla tych x funkcja ma postać x+1.
Wartość2 wymagałaby x=1, więc jest nieosiągalna.

Odpowiedź: R∖{2}.

Sprawdzenie i interpretacja: Każde y≠2 uzyskujemy dla x=y−1≠1.

Przećwicz ten zakres

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: Zbiór wartości to zawsze dziedzina.

Dlaczego to błąd: Argument i wynik są różnymi wielkościami.

Poprawnie: Dla x² dziedzina R, wartości[0,∞).

Błędne rozumowanie: $1/√(x−1)$ dopuszcza x=1.

Dlaczego to błąd: Pierwiastek z0 istnieje, lecz zerowy mianownik nie.

Poprawnie: x>1.

Podsumowanie — zapamiętaj

Funkcja przyporządkowuje każdemu argumentowi dokładnie jeden wynik.
Argument jest dozwolony tylko wtedy, gdy spełnia każdy warunek.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Dziedzina i zbiór wartości — ćwiczenia online

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 02.11.2026.

ZPE: Matematyka — liceum i technikum
Zakres źródła: Treści nauczania w zakresie podstawowym i rozszerzonym
ZPE: Przekształcanie wykresów funkcji kwadratowej
Zakres źródła: Przesunięcia, odbicia i własności wykresów
CKE: Funkcja kwadratowa, potęgi i logarytmy
Zakres źródła: Rozdziały2,3,7: dziedziny, znaki, wierzchołek i zbiory wartości