Matematyka

Średni — liceum i technikum

Zakres materiału: podstawowy

Algebra

Działania na wielomianach

Wielomian jest skończoną sumą wyrazów z nieujemnymi całkowitymi potęgami zmiennej. Porządkujemy go według potęg, a działania wykonujemy przez redukcję i rozdzielność. Stopień oceniamy dopiero po uproszczeniu, gdy wiadomo, które współczynniki są niezerowe.

Najważniejsze w skrócie

  • Stopień wyznaczaj po redukcji.
  • Mnożenie wykonuj systematycznie, a redukcję na końcu.
  • Porównuj współczynniki tej samej potęgi.

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

  • Wyrazy podobne, nawiasy i potęgi.

Po tej lekcji

  • Wykładniki muszą być nieujemne całkowite
  • Łącz te same potęgi
  • Wartość to wynik dla jednej liczby

Wykładniki muszą być nieujemne całkowite

3x2-2x+13x^2−2x+1 jest wielomianem,a1xix, a1/x i√x nie są wielomianami x. Stopień niezerowego wielomianu to najwyższy wykładnik przy niezerowym współczynniku. Niezerowa stała ma stopień 0. Wielomianowi zerowemu nie przypisujemy w tej lekcji zwykłego stopnia naturalnego.

Stopień wyznaczaj po redukcji.

Najwyższe potęgi mogą się znieść.

Kiedy stosujemy: Rozpatrujemy wielomiany jednej zmiennej x nad R.

Przykłady zastosowania

  • x3−x3+2x ma stopień 1.

Źródła: [1].

Łącz te same potęgi

Przy dodawaniu zbieramy współczynniki tych samych potęg. Przy odejmowaniu zmieniamy każdy znak drugiego wielomianu. Mnożenie wymaga każdego składnika razy każdy; potęgi tej samej podstawy mnożymy przez dodanie wykładników.

Stopień iloczynu niezerowych wielomianów jest sumą stopni. Stopień sumy może być mniejszy od obu wejściowych, jeśli wyrazy najwyższe się zniosą.

Mnożenie wykonuj systematycznie, a redukcję na końcu.

Pominięty iloczyn zmienia współczynnik, a czasem cały stopień wyniku.

Kiedy stosujemy: Reguła sumy stopni dotyczy iloczynu niezerowych wielomianów.

Przykłady zastosowania

  • (x+2)(x2−x+3)=x3+x2+x+6.

Źródła: [1].

Wartość to wynik dla jednej liczby

W(x) opisuje cały wielomian, a W(2) jego jedną wartość. Do potęg ujemnej podstawianej liczby używaj nawiasów. Równość wielomianów dla każdego x oznacza równość odpowiadających współczynników; zgodność w jednym wybranym punkcie jeszcze tego nie dowodzi.

Porównuj współczynniki tej samej potęgi.

Postać uporządkowana ujawnia rolę każdej liczby.

Kiedy stosujemy: Równość współczynników stosujemy do tożsamości, nie tylko pojedynczego równania W(x)=V(x).

Przykłady zastosowania

  • Jeśli ax2+3x=2x2+3x dla każdego x, to a=2.

Źródła: [1].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Redukcja przed stopniem

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Podaj stopień x3−x3+2x.

Jak podejść do zadania: Najpierw uprość zapis.

  1. x3−x3=0.
  2. Pozostaje2x.
  3. Najwyższa niezerowa potęga to 1.

Odpowiedź: Stopień1.

Sprawdzenie i interpretacja: Wynik nie ma już wyrazu sześciennego.

Przećwicz ten zakres

2. Suma wielomianów

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Dodaj(2x2−3x+1)+(−x2+5x−4).

Jak podejść do zadania: Zestaw te same potęgi.

  1. 2x2−x2=x2.
  2. −3x+5x=2x.
  3. 1−4=−3.

Odpowiedź: x2+2x−3.

Sprawdzenie i interpretacja: Dla x=1 obie strony dają 0.

Przećwicz ten zakres

3. Minus obejmuje cały nawias

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Odejmij(x2−2x+3)−(2x2+x−5).

Jak podejść do zadania: Zmień każdy znak drugiego wielomianu.

  1. x2−2x+3−2x2−x+5.
  2. Łączę x2−2x2 i−2x−x.
  3. Stałe dają 8.

Odpowiedź: −x2−3x+8.

Sprawdzenie i interpretacja: Dla x=0 różnica 3−(−5)=8.

Przećwicz ten zakres

4. Każdy przez każdy

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Pomnóż(x+2)(x2−x+3).

Jak podejść do zadania: Rozpisz dwa iloczyny z całym drugim nawiasem.

  1. x3−x2+3x+2x2−2x+6.
  2. Redukcja kwadratów daje x2.
  3. Redukcja wyrazów liniowych daje x.

Odpowiedź: x3+x2+x+6.

Sprawdzenie i interpretacja: Dla x=1: 3·3=9=1+1+1+6; stopnie 1+2 dają 3.

Przećwicz ten zakres

5. Ujemna podstawiana liczba

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Dla W(x)=x3−2x+1 oblicz W(−2).

Jak podejść do zadania: Wstaw −2 w każdym miejscu.

  1. (−2)3−2·(−2)+1.
  2. −8+4+1.
  3. Otrzymuję−3.

Odpowiedź: −3.

Sprawdzenie i interpretacja: Minus przed 2x zamienia ujemny iloczyn na dodatni składnik 4.

Przećwicz ten zakres

6. Porównanie współczynników

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Dla jakich a, b tożsamość ax2+bx+1=3x2−2x+1 zachodzi dla każdego x?

Jak podejść do zadania: Porównaj odpowiadające potęgi.

  1. Przy x2 muszą być równe a i3.
  2. Przy x muszą być równe b i−2.
  3. Stałe 1 już się zgadzają.

Odpowiedź: a=3,b=−2.

Sprawdzenie i interpretacja: Po podstawieniu parametrów obie strony mają identyczny zapis.

Przećwicz ten zakres

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: Stopień sumy zawsze jest największym stopniem składników.

Dlaczego to błąd: Najwyższe wyrazy mogą się znieść.

Poprawnie: Najpierw zredukuj.

Błędne rozumowanie: Odejmując wielomian, zmieniam tylko pierwszy znak.

Dlaczego to błąd: Minus dotyczy całej sumy.

Poprawnie: Zmień znak każdego składnika.

Podsumowanie — zapamiętaj

  • Najwyższe potęgi mogą się znieść.
  • Pominięty iloczyn zmienia współczynnik, a czasem cały stopień wyniku.
  • Postać uporządkowana ujawnia rolę każdej liczby.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 23.10.2026.

  1. ZPE — działania na wielomianach