Matematyka

Średni — liceum i technikum

Zakres materiału: podstawowy

Ciągi liczbowe

Ciąg arytmetyczny

W ciągu arytmetycznym do kolejnego wyrazu dodajemy stałą różnicę r. Wzór na wyraz liczy liczbę takich kroków, a wzór na sumę paruje wyrazy od obu końców. Różnica może być dodatnia, ujemna albo zerowa.

Najważniejsze w skrócie

  • Różnica kolejnych wyrazów jest stała.
  • Sn=n(a1+an)2.S_n=n(a_1+a_n)/2.
  • Między wyrazami o indeksach j, k jest k−j przyrostów.

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

  • Wzór ogólny i równania liniowe.

Po tej lekcji

  • Między pierwszym a n-tym wyrazem jest n−1 kroków
  • Sparuj pierwszy z ostatnim
  • Odległość indeksów wskazuje liczbę różnic

Między pierwszym a n-tym wyrazem jest n−1 kroków

an=a1+(n-1)r.a_n=a_1+(n−1)r. Dla n=1 nie wykonujemy żadnego przyrostu. Gdy r>0 ciąg rośnie, r<0 maleje, r=0 jest stały. Trzy kolejne wyrazy a, b, c spełniają 2b=a+c.

Różnica kolejnych wyrazów jest stała.

Każdy krok dodaje tę samą liczbę r.

Kiedy stosujemy: Indeksy są naturalne dodatnie, a różnica dotyczy kolejności wyrazów.

Przykłady zastosowania

  • 5,2, −1, −4,… ma r=−3.

Źródła: [1].

Sparuj pierwszy z ostatnim

W parach pierwszy+ostatni, drugi+przedostatni sumy są takie same:a1+an.: a_1+a_n. Zsumowanie ciągu w obu kierunkach daje n takich par, więc 2Sn=n(a1+an).2S_n=n(a_1+a_n). Wzór działa także dla nieparzystej liczby wyrazów.

Sn=n(a1+an)2.S_n=n(a_1+a_n)/2.

Dzielenie przez 2 usuwa podwójne policzenie sumy.

Kiedy stosujemy: To suma pierwszych n wyrazów, nie wartość samego an.a_n.

Przykłady zastosowania

  • 1+2+…+10=10·=55.

Źródła: [1].

Odległość indeksów wskazuje liczbę różnic

ak-aj=(k-j)ra_k−a_j=(k−j)r pozwala odtworzyć r z dwóch wyrazów. Następnie wróć do a1.a_1. Jeśli szukasz liczby wyrazów, wynik równania musi być całkowity i dodatni.

Między wyrazami o indeksach j, k jest k−j przyrostów.

Nie liczymy obu końców jako dodatkowych kroków.

Kiedy stosujemy: Dane muszą dotyczyć tego samego ciągu arytmetycznego.

Przykłady zastosowania

  • a5-a2=3r.a_5−a_2=3r.

Źródła: [1].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Wyraz z początku i różnicy

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Dane a1=4,r=3.a_1=4, r=3. Oblicz a6.a_6.

Jak podejść do zadania: Policz pięć przyrostów.

  1. a6=4+(6-1)·3.a_6=4+(6−1)·3.
  2. 4+15=19.
  3. Różnica jest dodatnia.

Odpowiedź: 19.

Sprawdzenie i interpretacja: 4,7,10,13,16,19 — szósty wyraz 19.

Przećwicz ten zakres

2. Różnica ujemna

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Dla 5,2, −1,… oblicz a5.a_5.

Jak podejść do zadania: Wyznacz r=2−5.

  1. r=−3.
  2. a5=5+4·(-3).a_5=5+4·(−3).
  3. 5−12=−7.

Odpowiedź: −7.

Sprawdzenie i interpretacja: Czwarty wyraz −4, kolejny −7.

Przećwicz ten zakres

3. Suma pierwszych wyrazów

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Dla a1=4,r=3a_1=4, r=3 oblicz S6.S_6.

Jak podejść do zadania: Użyj a6=19ia_6=19 i liczby par.

  1. S6=6(4+19)2.S_6=6(4+19)/2.
  2. 6·=69.
  3. Sumujemy sześć wyrazów.

Odpowiedź: 69.

Sprawdzenie i interpretacja: 4+7+10+13+16+19=69.

Przećwicz ten zakres

4. Dwa znane wyrazy

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Dane a2=7,a5=19.a_2=7, a_5=19. Znajdź ria1.r i a_1.

Jak podejść do zadania: Wykorzystaj trzy odstępy indeksów.

  1. 19−7=3r.
  2. r=4.
  3. a1=a2-r=3.a_1=a_2−r=3.

Odpowiedź: r=4,a1=3.r=4,a_1=3.

Sprawdzenie i interpretacja: a5=3+4·4=19ia2=3+4=7.a_5=3+4·4=19 i a_2=3+4=7.

Przećwicz ten zakres

5. Który wyraz?

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: W ciągu a1=2,r=5a_1=2, r=5 znajdź indeks wyrazu 27.

Jak podejść do zadania: Rozwiąż wzór na wyraz.

  1. 2+(n−1)5=27.
  2. n−1=5.
  3. n=6, liczba naturalna dodatnia.

Odpowiedź: Szósty wyraz.

Sprawdzenie i interpretacja: a6=2+25=27.a_6=2+25=27.

Przećwicz ten zakres

6. Środkowy wyraz

Zakres: Podstawowy

Pytanie lub sytuacja: Trzy kolejne wyrazy to 6, x,14. Oblicz x.

Jak podejść do zadania: Zrównaj dwie różnice lub użyj średniej.

  1. x−6=14−x.
  2. 2x=20.
  3. x=10.

Odpowiedź: 10.

Sprawdzenie i interpretacja: Różnice 10−6 i14−10 wynoszą 4.

Przećwicz ten zakres

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: an=a1+a_n=a_1+nr.

Dlaczego to błąd: Dodano o jeden przyrost za dużo.

Poprawnie: Użyj(n−1)r.

Błędne rozumowanie: SnianS_n i a_n oznaczają to samo.

Dlaczego to błąd: Pierwszy symbol jest sumą, drugi pojedynczym wyrazem.

Poprawnie: Przeczytaj, o którą wielkość pyta zadanie.

Podsumowanie — zapamiętaj

  • Każdy krok dodaje tę samą liczbę r.
  • Dzielenie przez 2 usuwa podwójne policzenie sumy.
  • Nie liczymy obu końców jako dodatkowych kroków.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 23.10.2026.

  1. CKE — ciągi arytmetyczne, geometryczne i procent składany

    Zakres źródła: Rozdział 8, strony 9–10; wyrazy, sumy i kapitalizacja