Matematyka

Średni — liceum i technikum

Zakres materiału: rozszerzenie

Wstęp do analizy matematycznej

Badanie funkcji z pochodną

Pochodna dostarcza informacji o wzroście i spadku funkcji. Najpierw wyznacz dziedzinę, potem miejsca zerowe i znaki pochodnej. Sam warunek f′(x)=0 nie dowodzi ekstremum: potrzebna jest zmiana znaku albo inne uzasadnienie.

Najważniejsze w skrócie

  • f′: +→− daje maksimum; −→+ daje minimum.
  • Na [a,b] porównaj f(a),f(b) i wartości w punktach krytycznych.

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

  • Dziedzina, pochodne i nierówności.

Po tej lekcji

  • Zbuduj tabelę znaków pochodnej
  • Porównaj wartości kandydatów

Zbuduj tabelę znaków pochodnej

Zakres: Rozszerzenie

Dodatnia pochodna na przedziale oznacza, że funkcja jest na nim rosnąca, ujemna malejąca. Zmiana znaku z plusa na minus daje maksimum lokalne, a z minusa na plus minimum.

Punkty wyłączone z dziedziny też dzielą analizowaną prostą na przedziały.

f′: +→− daje maksimum; −→+ daje minimum.

Kierunek zmiany przed i po punkcie opisuje kształt wykresu.

Kiedy stosujemy: Badamy wnętrze dziedziny; f′(a)=0 to tylko kandydat.

Przykłady zastosowania

  • Dla x2: pochodna2x zmienia−na+ przy0.

Źródła: [2].

Porównaj wartości kandydatów

Zakres: Rozszerzenie

Pochodna x3 zeruje się w0, ale pozostaje dodatnia po obu stronach: nie ma ekstremum. Na domkniętym przedziale funkcji ciągłej sprawdzamy też końce przedziału.

Pochodna nie zastępuje badania dziedziny i granic.

Na [a,b] porównaj f(a),f(b) i wartości w punktach krytycznych.

Ekstremum globalne może wypaść na końcu, gdzie warunek pochodnej zerowej nie obowiązuje.

Kiedy stosujemy: Ciągłość na domkniętym ograniczonym przedziale zapewnia osiąganie ekstremów.

Przykłady zastosowania

  • x2 na[−1,2] ma minimum0 i maksimum4.

Źródła: [2].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Minimum

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Zbadaj monotoniczność x2.

Jak podejść do zadania: Ustal znak2x.

  1. f′<0 dla x<0, f′>0 dla x>0.
  2. Funkcja maleje do0 i rośnie od0.
  3. W0 ma minimum o wartości0.

Odpowiedź: Maleje na(−∞,0], rośnie na[0,∞); minimum0.

Sprawdzenie i interpretacja: x2≥0 dla każdego x.

Przećwicz ten zakres

2. Dwa ekstrema

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Zbadaj ekstrema x3−3x.

Jak podejść do zadania: Rozłóż pochodną.

  1. f′=3(x−1)(x+1).
  2. Znaki:+ dla x<−1,− dla−1<x<1,+ dla x>1.
  3. Maksimum w−1 ma wartość2; minimum w1 ma wartość−2.

Odpowiedź: Maksimum lokalne(−1,2), minimum lokalne(1,−2).

Sprawdzenie i interpretacja: Podstawienie do funkcji daje2 i−2.

Przećwicz ten zakres

3. Pochodna zero bez ekstremum

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Czy x3 ma ekstremum w0?

Jak podejść do zadania: Porównaj znaki pochodnej.

  1. f′=3x2≥0.
  2. Po obu stronach0 pochodna jest dodatnia.
  3. Funkcja rośnie przez0 bez zmiany kierunku.

Odpowiedź: Nie.

Sprawdzenie i interpretacja: Dla małego h>0 mamy f(−h)<f(0)<f(h).

Przećwicz ten zakres

4. Przedział domknięty

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Znajdź minimum i maksimum x2 na[−1,2].

Jak podejść do zadania: Sprawdź końce i punkt krytyczny.

  1. Punkt krytyczny0 należy do przedziału.
  2. f(−1)=1,f(0)=0,f(2)=4.
  3. Najmniejsza0, największa4.

Odpowiedź: Minimum0 w0; maksimum4 w2.

Sprawdzenie i interpretacja: Na tym przedziale |x|≤2.

Przećwicz ten zakres

5. Rozdzielona dziedzina

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Zbadaj monotoniczność1x.1/x.

Jak podejść do zadania: Uwzględnij wykluczenie0.

  1. Dziedzina R∖{0}.
  2. f′=-1x2<0f′=−1/x^2<0 na każdym składniku dziedziny.
  3. Funkcja maleje na(−∞,0) i osobno na(0,∞).

Odpowiedź: Maleje na obu wskazanych przedziałach.

Sprawdzenie i interpretacja: Nie jest malejąca na całej rozłącznej dziedzinie:−1<1,ale f(−1)<f(1).

Przećwicz ten zakres

6. Minimum na dodatnich

Zakres: Rozszerzenie

Pytanie lub sytuacja: Znajdź minimum x+1xx+1/x dla x>0.

Jak podejść do zadania: Zbadaj znak pochodnej.

  1. f′=1-1x2=(x-1)(x+1)x2.f′=1−1/x^2=(x−1)(x+1)/x^2.
  2. Dla0<x<1 znak−, dla x>1 znak+.
  3. Minimum w1: f(1)=2.

Odpowiedź: Minimum2 w x=1.

Sprawdzenie i interpretacja: x+1x-2=(x-1)2x≥0.x+1/x−2=(x−1)^2/x≥0.

Przećwicz ten zakres

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: f′(a)=0 zawsze oznacza ekstremum.

Dlaczego to błąd: Pochodna może nie zmienić znaku.

Poprawnie: Sprawdź np.x3 w0.

Błędne rozumowanie: Na przedziale wystarczy zbadać punkty z f′=0.

Dlaczego to błąd: Maksimum może leżeć na końcu.

Poprawnie: Porównaj także wartości na brzegach.

Podsumowanie — zapamiętaj

  • Kierunek zmiany przed i po punkcie opisuje kształt wykresu.
  • Ekstremum globalne może wypaść na końcu, gdzie warunek pochodnej zerowej nie obowiązuje.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 23.10.2026.

  1. ZPE: Matematyka — liceum i technikum

    Zakres źródła: Treści nauczania w zakresie podstawowym i rozszerzonym

  2. CKE: Ciągi i pochodna funkcji

    Zakres źródła: Rozdziały 8 i 16: granice ciągów, reguły różniczkowania, monotoniczność i ekstrema

  3. ZPE: Granica funkcji w punkcie według Heinego

    Zakres źródła: Znaczenie granicy, jej niezależność od wartości w punkcie i brak granicy

  4. ZPE: Jak obliczyć granicę niewłaściwą funkcji w punkcie?

    Zakres źródła: Granice nieskończone i zachowanie w sąsiedztwie punktu

  5. ZPE: Pochodna funkcji złożonej

    Zakres źródła: Reguła łańcuchowa i pochodna funkcji wewnętrznej