Matematyka

Podstawowy — szkoła podstawowa

Procenty i proporcje

Proporcjonalność prosta

Dwie wielkości są wprost proporcjonalne, gdy ich iloraz pozostaje stały. Dwa razy większej jednej odpowiada dwa razy większa druga. Sam fakt, że obie rosną, jeszcze nie wystarcza.

Najważniejsze w skrócie

  • y = kx; dla x ≠ 0 iloraz yx=ky/x = k
  • Najpierw podziel, aby znaleźć 1 jednostkę, potem pomnóż.

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

  • Ułamki i dzielenie.

Po tej lekcji

  • Sprawdź stały iloraz
  • Przejdź przez jedną jednostkę

Sprawdź stały iloraz

Przy stałej cenie jednostkowej koszt rośnie proporcjonalnie do masy towaru. Wzór ma postać y = kx i nie zawiera dodatkowej stałej opłaty.

Gdy za przejazd płaci się także opłatę początkową, sam koszt nie jest proporcjonalny do liczby kilometrów.

y = kx; dla x ≠ 0 iloraz yx=ky/x = k

Współczynnik k jest wartością przypadającą na jedną jednostkę x.

Kiedy stosujemy: Porównuj wielkości zapisane w zgodnych jednostkach.

Przykłady zastosowania

  • Koszt 4 zł za kg: y = 4x.
Porównaj wykres przez początek układu z wykresem zawierającym opłatę początkową.

Wybieraj elementy rysunku i poznawaj ich własności. To swobodna powtórka bez ocen.

0523xyA0523xyB
Powiększenie i przesuwanie

Plus i minus zmieniają powiększenie. Strzałki przesuwają powiększoną grafikę, Home przywraca całość. Możesz użyć przycisków lub klawiatury po ustawieniu fokusu na grafice.

Opis i oznaczenia

Dwa wykresy w jednakowych skalach. Osie przecinają się w punkcie (0, 0).

  • 0
  • 5
  • 23
  • x
  • y
  • A
  • 0
  • 5
  • 23
  • x
  • y
  • B
Wybierz elementy

Nie zaznaczono żadnego elementu.

Pomoc do wyboru

Dotknij elementu na rysunku lub wybierz go z listy. Poniżej znajdziesz objaśnienie zaznaczenia.

Wybierz element, aby przeczytać jego opis.

Źródła: [1] [2].

Przejdź przez jedną jednostkę

Z ceny 3 kg równej 18 zł najpierw wyznaczamy cenę 1 kg: 18 : 3 = 6 zł//kg. Dopiero potem mnożymy przez potrzebną masę.

W proporcji jednostki muszą odpowiadać sobie: kg z kg, a nie kg z gramami bez zamiany.

Najpierw podziel, aby znaleźć 1 jednostkę, potem pomnóż.

Stały współczynnik pozwala odtworzyć dowolną parę danych.

Kiedy stosujemy: Zakładamy niezmienność warunków, np. tej samej ceny jednostkowej.

Przykłady zastosowania

  • 5 kg przy 6 zł//kg kosztuje 30 zł.

Źródła: [1] [2].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Cena jednostkowa

Pytanie lub sytuacja: 3 kg jabłek kosztują 18 zł. Ile kosztuje 5 kg?

03518?kgzł

Wykres przechodzi przez początek układu. Przerywane odcinki łączą szukany argument z odpowiadającą mu wartością; nie zmieniamy jednostek w trakcie odczytu.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Najpierw cena 1 kg.

  1. 18 : 3 = 6 zł//kg.
  2. 5 · 6 = 30 zł.
  3. Użyliśmy tej samej stawki dla całej masy.

Odpowiedź: 30 zł.

Sprawdzenie i interpretacja: 305=183=630/5 = 18/3 = 6 zł//kg.

2. Sprawdzenie tabeli

Pytanie lub sytuacja: Dane to (2,6), (4,12), (5,15). Czy y jest wprost proporcjonalne do x?

024661218xy

Pary danych leżą na jednej prostej przechodzącej przez początek układu.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Porównaj ilorazy.

  1. = 3.
  2. = 3 i = 3.
  3. Każdy punkt spełnia y = 3x.

Odpowiedź: Tak, k = 3.

Sprawdzenie i interpretacja: Pomnożenie każdego x przez 3 odtwarza y.

3. Opłata początkowa

Pytanie lub sytuacja: Koszt przejazdu wynosi 8 zł plus 3 zł za kilometr. Czy jest proporcjonalny do drogi?

02468,6717,3326xy

Dla x = 0 wykres rozpoczyna się powyżej zera: początkowy koszt wynosi 8 zł. Sam wzrost nie oznacza proporcjonalności.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Porównaj dwie drogi.

  1. Dla 1 km koszt to 11 zł.
  2. Dla 2 km koszt to 14 zł, a nie 22 zł.
  3. Podwojenie drogi nie podwaja całego kosztu.

Odpowiedź: Nie.

Sprawdzenie i interpretacja: Wzór y = 3x + 8 ma dodatkowy wyraz stały.

4. Różne jednostki masy

Pytanie lub sytuacja: 1 kg orzechów kosztuje 40 zł. Ile kosztuje 250 g?

0100025040?gzł

Wykres przechodzi przez początek układu. Przerywane odcinki łączą szukany argument z odpowiadającą mu wartością; nie zmieniamy jednostek w trakcie odczytu.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Zamień gramy na kilogramy.

  1. 250 g = 0,25 kg.
  2. 0,25 · 40 = 10.
  3. Cena dotyczy jednej czwartej kilograma.

Odpowiedź: 10 zł.

Sprawdzenie i interpretacja: Cztery porcje po 250 g kosztują 40 zł.

5. Przepis

Pytanie lub sytuacja: Na 4 porcje potrzeba 300 g ryżu. Ile na 6 porcji?

046300?porcjeg

Wykres przechodzi przez początek układu. Przerywane odcinki łączą szukany argument z odpowiadającą mu wartością; nie zmieniamy jednostek w trakcie odczytu.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Oblicz ilość na porcję.

  1. 300 : 4 = 75 g na porcję.
  2. 75 · 6 = 450 g.
  3. Liczba porcji wzrosła 1,5 raza, tyle samo masa.

Odpowiedź: 450 g.

Sprawdzenie i interpretacja: = = 75.

6. Stałe tempo

Pytanie lub sytuacja: Rowerzysta jedzie stałym tempem 12 km w 40 minut. Ile przejedzie w godzinę?

0406012?minkm

Wykres przechodzi przez początek układu. Przerywane odcinki łączą szukany argument z odpowiadającą mu wartością; nie zmieniamy jednostek w trakcie odczytu.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

Jak podejść do zadania: Zachowaj spójne jednostki czasu.

  1. Godzina to 60 minut.
  2. Na minutę przypada = 0,3 km.
  3. 0,3 · 60 = 18 km.

Odpowiedź: 18 km.

Sprawdzenie i interpretacja: = 1,5 i 12 · 1,5 = 18.

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: Każde dwie rosnące wielkości są proporcjonalne.

Dlaczego to błąd: Potrzebny jest stały iloraz, a nie sam wzrost.

Poprawnie: y = 3x + 8 nie jest wprost proporcjonalne.

Błędne rozumowanie: 250 g kosztuje 250 · 40 zł.

Dlaczego to błąd: Cena podana jest za kilogram, nie gram.

Poprawnie: 250 g = 0,25 kg, koszt 10 zł.

Podsumowanie — zapamiętaj

  • Współczynnik k jest wartością przypadającą na jedną jednostkę x.
  • Stały współczynnik pozwala odtworzyć dowolną parę danych.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 01.11.2026.

  1. ZPE: Matematyka — szkoła podstawowa

    Zakres źródła: Treści nauczania: obliczenia, geometria i rozumowanie

  2. ZPE: Działania na ułamkach zwykłych

    Zakres źródła: Proporcje i mnożenie na krzyż