Matematyka

Podstawowy — szkoła podstawowa

Podstawy kombinatoryki i prawdopodobieństwa

Prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo opisuje szansę zdarzenia liczbą od 0 do 1. W modelu klasycznym wszystkie wyniki muszą być jednakowo prawdopodobne. Wtedy liczymy wyniki sprzyjające i dzielimy przez liczbę wszystkich wyników.

Najważniejsze w skrócie

  • P(A) = liczba wyników sprzyjających / liczba wszystkich wyników
  • P(nie A) = 1 − P(A)

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

  • Ułamki i zliczanie możliwości.

Po tej lekcji

  • Wskaż jednakowo prawdopodobne wyniki
  • Policz łatwiejsze zdarzenie

Wskaż jednakowo prawdopodobne wyniki

Uczciwa kostka ma sześć równych szans: 1,2,3,4,5,6. Zdarzenie „parzysta” obejmuje trzy wyniki, więc jego prawdopodobieństwo wynosi . Przy nierównych szansach samo liczenie wyników nie wystarcza.

P(A) = liczba wyników sprzyjających / liczba wszystkich wyników

Ułamkiem opisujemy udział wyników zdarzenia w całym równomiernym zbiorze.

Kiedy stosujemy: Zbiór jest skończony i niepusty; wyniki są jednakowo prawdopodobne.

Przykłady zastosowania

  • P(parzysta) = = .

Źródła: [1] [2].

Policz łatwiejsze zdarzenie

Zdarzenie przeciwne obejmuje dokładnie wyniki, które nie należą do A. W losowaniu jednego obiektu odróżniamy poszczególne obiekty nawet wtedy, gdy mają ten sam kolor.

P(nie A) = 1 − P(A)

A i jego przeciwieństwo dzielą wszystkie wyniki na dwie rozłączne grupy.

Kiedy stosujemy: Nie myl „nie czerwony” z jednym wybranym innym kolorem.

Przykłady zastosowania

  • Jeśli czerwonych jest 3 z 8, nieczerwonych jest 5 z 8.

Źródła: [1] [2].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Uczciwa moneta

Pytanie lub sytuacja: Jakie jest prawdopodobieństwo orła w jednym rzucie uczciwą monetą?

Jak podejść do zadania: Policz równe wyniki.

  1. Wyniki to orzeł i reszka.
  2. Jeden z dwóch jest sprzyjający.
  3. P = .

Odpowiedź: .

Sprawdzenie i interpretacja: Orzeł i reszka mają razem prawdopodobieństwo 1.

2. Parzysta liczba

Pytanie lub sytuacja: Oblicz prawdopodobieństwo parzystej liczby na uczciwej kostce.

Jak podejść do zadania: Wypisz wyniki sprzyjające.

  1. Sprzyjające: 2,4,6 — trzy wyniki.
  2. Wszystkich jest 6.
  3. = .

Odpowiedź: .

Sprawdzenie i interpretacja: Nieparzystych także jest 3.

3. Więcej niż cztery

Pytanie lub sytuacja: Jakie jest prawdopodobieństwo wyniku większego niż 4 na uczciwej kostce?

Jak podejść do zadania: Pilnuj ścisłego warunku.

  1. Większe niż 4 są 5 i 6.
  2. Są 2 wyniki z 6.
  3. = .

Odpowiedź: .

Sprawdzenie i interpretacja: Liczba 4 nie spełnia warunku „większy niż 4”.

4. Kolor kulki

Pytanie lub sytuacja: W worku są 3 czerwone i 5 niebieskich jednakowych kulek. Losujemy jedną. Oblicz szansę czerwonej.

Jak podejść do zadania: Policz kulki, nie kolory.

  1. Wszystkich kulek jest 8.
  2. Czerwone są 3.
  3. P = .

Odpowiedź: .

Sprawdzenie i interpretacja: Szansa niebieskiej wynosi ; suma to 1.

5. Nie ten kolor

Pytanie lub sytuacja: W worku jest 2 czerwone, 3 zielone i 5 białych kulek. Oblicz szansę wylosowania nieczerwonej.

Jak podejść do zadania: Policz zdarzenie przeciwne.

  1. Wszystkich jest 10.
  2. P(czerwona) = .
  3. 1 − = = .

Odpowiedź: .

Sprawdzenie i interpretacja: Zielonych i białych jest 3 + 5 = 8.

6. Pewność i niemożliwość

Pytanie lub sytuacja: Jakie są szanse wyniku 7 oraz wyniku mniejszego od 7 na zwykłej kostce?

Jak podejść do zadania: Sprawdź liczbę sprzyjających wyników.

  1. Siódemka nie występuje: 0 wyników z 6.
  2. Każdy wynik jest mniejszy od 7: 6 z 6.
  3. Prawdopodobieństwa wynoszą 0 i 1.

Odpowiedź: 0 oraz 1.

Sprawdzenie i interpretacja: Niemożliwe i pewne zdarzenie mają skrajne wartości przedziału [0,1].

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: Dwa kolory kulek dają każdemu kolorowi szansę .

Dlaczego to błąd: Jednakowe szanse mają poszczególne kulki, nie kolory o różnych liczebnościach.

Poprawnie: Podziel liczbę kulek koloru przez liczbę wszystkich.

Błędne rozumowanie: P(więcej niż 4) = , bo liczymy 4,5,6.

Dlaczego to błąd: 4 nie jest większe od 4.

Poprawnie: Sprzyjają 5 i 6: .

Podsumowanie — zapamiętaj

  • Ułamkiem opisujemy udział wyników zdarzenia w całym równomiernym zbiorze.
  • A i jego przeciwieństwo dzielą wszystkie wyniki na dwie rozłączne grupy.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 23.10.2026.

  1. ZPE: Matematyka — szkoła podstawowa

    Zakres źródła: Treści nauczania: obliczenia, geometria i rozumowanie

  2. ZPE: Prawdopodobieństwo klasyczne

    Zakres źródła: Jednakowo prawdopodobne wyniki i zliczanie