Matematyka

Podstawowy — szkoła podstawowa

Liczby i działania

Odejmowanie

Pomoce naukowe

Odejmowanie opisuje ubywanie, różnicę i odległość skierowaną. Nie jest przemienne: 9 − 4 i 4 − 9 odpowiadają na inne pytania. Wynik można kontrolować dodawaniem.

Najważniejsze w skrócie

  • a − b = c wtedy, gdy c + b = a
  • Gdy w kolumnie brakuje jednostek, wymień jedną jednostkę wyższego rzędu na dziesięć niższego.
  • a − b = a + (−b)

Co warto wiedzieć na początek

Przydatne pojęcia i umiejętności

  • Dodawanie i wartość pozycyjna cyfr.

Po tej lekcji

  • Odczytaj rolę liczb
  • Odejmowanie pisemne krok po kroku
  • Zamień rzędy i znaki

Odczytaj rolę liczb

W zapisie 14 − 6 liczba 14 jest odjemną, 6 odjemnikiem, a 8 różnicą. Możemy odjąć najpierw 4, aby dojść do 10, potem pozostałe 2.

Pytanie „o ile więcej?” także prowadzi do odejmowania, nawet jeżeli niczego fizycznie nie zabieramy.

a − b = c wtedy, gdy c + b = a

Dodanie odjemnika do różnicy odtwarza odjemną.

Kiedy stosujemy: Kontrolujemy to samo uporządkowanie liczb.

Przykłady zastosowania

  • 14 − 6 = 8, ponieważ 8 + 6 = 14.

Źródła: [2].

Odejmowanie pisemne krok po kroku

Poniżej odejmujemy mniejszą liczbę naturalną od większej. Odjemną zapisujemy u góry, odjemnik pod nią. Cyfry tych samych rzędów stoją w jednej kolumnie. Zaczynamy od jedności i przechodzimy w lewo.

Gdy w kolumnie brakuje jednostek, wymień jedną jednostkę wyższego rzędu na dziesięć niższego.

Wymiana zmienia zapis rzędów, ale nie wartość odjemnej. Po wymianie wyższy rząd jest mniejszy o 1; trzeba liczyć już z jego nową wartością.

Kiedy stosujemy: Liczby naturalne; odjemna jest nie mniejsza od odjemnika.

Przykłady zastosowania

  • 403 − 178 = 225.
  1. Ustaw jedności pod jednościami, dziesiątki pod dziesiątkami i kolejne rzędy tak samo. Narysuj kreskę pod odjemnikiem.
  2. Odejmuj od prawej. Jeśli górna cyfra wystarcza, oblicz różnicę i zapisz ją pod kreską.
  3. Jeśli górna cyfra nie wystarcza, wymień jedną jednostkę rzędu po lewej na 10 jednostek bieżącego rzędu. Zaznacz obie zmienione wartości.
  4. Jeżeli po lewej jest zero, szukaj najbliższego niezerowego rzędu. Wymieniaj kolejno przez wszystkie pośrednie rzędy. Dopiero potem odejmuj.
Jak zmienia się zapis liczby 403 przy wymianie przez zero
EtapSetkiDziesiątkiJedności
Przed wymianą403
1 setka zamieniona na 10 dziesiątek3103
1 dziesiątka zamieniona na 10 jedności3913

Każdy wiersz tabeli przedstawia tę samą liczbę: 400 + 3 = 300 + 100 + 3 = 300 + 90 + 13. W ostatnim wierszu mamy już dość jedności do odjęcia 8.

3913403−178225

403 − 178 = 225. Jedną z 4 setek wymieniamy na 10 dziesiątek, a jedną z tych dziesiątek na 10 jedności. Otrzymujemy 3 setki, 9 dziesiątek i 13 jedności — nadal 403. Wynik w kolumnach: 5 jedności, 2 dziesiątki, 2 setki.

Jeśli rysunek jest szerszy niż ekran, przesuń go w poziomie.

  1. Jedności: zamiast 3 mamy po wymianie 13. Oblicz 13 − 8 = 5 i zapisz 5.
  2. Dziesiątki: po oddaniu jednej dziesiątki zostało ich 9. Oblicz 9 − 7 = 2 i zapisz 2.
  3. Setki: po wymianie zostały 3. Oblicz 3 − 1 = 2. Wynik to 225.

Sprawdzenie: 225 + 178 = 403. Przy dłuższym ciągu zer działa ta sama zasada: 1000 to po wymianie 9 setek, 9 dziesiątek i 10 jedności, więc 1000 − 1 = 999.

Źródła: [3].

Zamień rzędy i znaki

Jeśli w danym rzędzie brakuje jednostek, wymieniamy jedną jednostkę wyższego rzędu na dziesięć niższego. Przy zerach wymiana może przejść przez kilka rzędów.

Odejmowanie liczby to dodanie liczby do niej przeciwnej. Stąd odjęcie liczby ujemnej powiększa wynik.

a − b = a + (−b)

Dwa minusy o różnych rolach — działanie i znak odjemnika — prowadzą do dodania liczby dodatniej.

Kiedy stosujemy: Nawias wskazuje, jaki znak należy do odjemnika.

Przykłady zastosowania

  • 5 − (−3) = 5 + 3 = 8.

Źródła: [2].

Omówione przykłady krok po kroku

1. Przez dziesiątkę

Pytanie lub sytuacja: Oblicz 15 − 7.

Jak podejść do zadania: Rozłóż odjemnik.

  1. 7 = 5 + 2.
  2. 15 − 5 = 10.
  3. 10 − 2 = 8.

Odpowiedź: 8.

Sprawdzenie i interpretacja: 8 + 7 = 15.

2. Wymiana setki

Pytanie lub sytuacja: Oblicz 403 − 178.

Jak podejść do zadania: Wymień jedną setkę przez dziesiątki.

  1. 403 to 3 setki, 9 dziesiątek i 13 jedności po wymianach.
  2. Jedności: 13 − 8 = 5.
  3. Dziesiątki: 9 − 7 = 2; setki: 3 − 1 = 2.

Odpowiedź: 225.

Sprawdzenie i interpretacja: 225 + 178 = 403.

3. O ile więcej?

Pytanie lub sytuacja: Ala ma 52 znaczki, a Olek 37. O ile więcej ma Ala?

Jak podejść do zadania: Znajdź różnicę.

  1. Porównujemy dwie liczby tych samych przedmiotów.
  2. Od większej odejmujemy mniejszą: 52 − 37.
  3. 52 − 30 − 7 = 22 − 7 = 15.

Odpowiedź: O 15 znaczków.

Sprawdzenie i interpretacja: 37 + 15 = 52.

4. Przejście przez zero

Pytanie lub sytuacja: Oblicz 3 − 8.

Jak podejść do zadania: Przesuwaj się w lewo.

  1. Trzy kroki od 3 prowadzą do zera.
  2. Z ośmiu kroków pozostaje jeszcze pięć.
  3. Pięć kroków w lewo od zera daje −5.

Odpowiedź: −5.

Sprawdzenie i interpretacja: −5 + 8 = 3.

5. Odejmowanie ujemnej

Pytanie lub sytuacja: Oblicz −4 − (−9).

Jak podejść do zadania: Dodaj liczbę przeciwną do odjemnika.

  1. Przeciwną do −9 jest 9.
  2. −4 − (−9) = −4 + 9.
  3. 9 − 4 = 5 i przeważa znak dodatni.

Odpowiedź: 5.

Sprawdzenie i interpretacja: 5 + (−9) = −4.

6. Ujemna minus dodatnia

Pytanie lub sytuacja: Oblicz −6 − 5.

Jak podejść do zadania: Zamień na sumę liczb ujemnych.

  1. −6 − 5 = −6 + (−5).
  2. Od −6 przesuwamy się o 5 w lewo.
  3. Otrzymujemy −11.

Odpowiedź: −11.

Sprawdzenie i interpretacja: −11 + 5 = −6.

Typowe błędy i poprawne rozumowanie

Błędne rozumowanie: 403 − 178 = 335.

Dlaczego to błąd: Nie wykonano wymiany przez zerowy rząd dziesiątek.

Poprawnie: 403 − 178 = 225.

Błędne rozumowanie: −4 − (−9) = −13.

Dlaczego to błąd: Nie zmieniono odjemnika na liczbę przeciwną.

Poprawnie: −4 + 9 = 5.

Podsumowanie — zapamiętaj

  • Dodanie odjemnika do różnicy odtwarza odjemną.
  • Wymiana zmienia zapis rzędów, ale nie wartość odjemnej. Po wymianie wyższy rząd jest mniejszy o 1; trzeba liczyć już z jego nową wartością.
  • Dwa minusy o różnych rolach — działanie i znak odjemnika — prowadzą do dodania liczby dodatniej.

Sprawdź wiedzę w ćwiczeniach

Wróć do wszystkich powtórek wiedzy

Źródła i dalsza nauka

Data sprawdzenia materiału: 29.10.2026.

  1. ZPE: Matematyka — szkoła podstawowa

    Zakres źródła: Treści nauczania: obliczenia, geometria i rozumowanie

  2. ZPE: Obliczanie wartości wyrażeń arytmetycznych

    Zakres źródła: Kolejność działań i działania na liczbach

  3. ZPE: Odejmowanie liczb naturalnych sposobem pisemnym

    Zakres źródła: Algorytm pisemny i przykłady działań na liczbach naturalnych